Les vencimos

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I · 1.º Bachillerato

Lección 14 · C.1 · Patrones

Generalizar un patrón

Decreto 40/2022 CyL · primer curso · antes de segundo

Objetivos

De la lista a la posición n

El sentido algebraico, apartado C.1 del primer curso, pide generalizar patrones en situaciones sencillas. El patrón puede ser una lista de números o una figura que crece. El oficio es el mismo: decidir qué representa n, calcular varios casos, conjeturar la fórmula y verificarla en un caso nuevo.

Conviene fijar el convenio antes de escribir letras. En esta lección, n empieza en 1: el primer término es el de n = 1, no el de n = 0, salvo que el enunciado diga lo contrario. Cambiar el origen cambia la fórmula aunque la lista sea la misma. Si alguien escribe 4n − 3 y tú escribes 4n + 1, puede que los dos tengáis razón y estéis contando el paso cero de otra manera. La comprobación con n = 1 lo aclara.

an = a1 + (n − 1) · d

an es el término que ocupa la posición n; a1 es el primero; d es la diferencia constante entre un término y el siguiente; n − 1 cuenta cuántos saltos de tamaño d hay desde el primero hasta el n-ésimo. Esta fórmula solo vale cuando la diferencia es siempre la misma.

Si la diferencia no es constante, no fuerces esa plantilla. Mira las diferencias segundas, o prueba con n2, con n(n + 1) o con una fracción n / (n + 1). La pista suele estar en cómo crece la figura: filas que añaden un objeto más cada vez suelen llevar a un número triangular n(n + 1) / 2; una cuadrícula n por n lleva a n2.

Tn = n(n + 1) / 2

Tn es el total de objetos de una figura triangular en el paso n; n es el número de filas, o el lado; n + 1 es la fila que todavía no está, y el producto partido por 2 evita contar dos veces la misma pareja. Para n = 1 da 1; para n = 4 da 10.

Una figura se generaliza igual que una lista, pero el recuento tiene que poder contarse en voz alta: «en el paso n hay n mesas y cada mesa nueva añade dos asientos a los que ya había». Si no puedes decir esa frase, la fórmula todavía es una adivinanza.

Patrón triangular: 1 punto, luego 3, luego 6; el paso n tiene n(n + 1) / 2 puntos n = 1 → 1 n = 2 → 3 n = 3 → 6 n → n(n+1)/2

Ejemplo 1. Una cuota que sube de cuatro en cuatro

Una actividad cobra, en euros, 5 la primera semana, 9 la segunda, 13 la tercera y 17 la cuarta. Se quiere la cuota de la semana n, no solo la de la quinta.

  1. Diferencias:
    9 − 5 = 4
    13 − 9 = 4
    17 − 13 = 4. La diferencia d es constante e igual a 4.
  2. El primer término es a1 = 5. La fórmula de diferencia constante da an = 5 + (n − 1) · 4.
  3. Se simplifica: 5 + 4n − 4 = 4n + 1.
  4. Comprobación: n = 1 → 5; n = 2 → 9; n = 3 → 13; n = 4 → 17. Los cuatro datos encajan.
  5. Un término nuevo, la semana 6: 4 · 6 = 24
    24 + 1 = 25
    a6 = 25. No hacía falta sumar 4 seis veces.

an = 4n + 1

n es el número de semana, empezando en 1; 4 es la subida semanal en euros; 1 es el ajuste para que la primera semana valga 5 y no 4; an es la cuota de esa semana, en euros.

Si hubieras tomado n = 0 para la primera semana, la fórmula sería otra, 4n + 5, y también serviría, pero entonces n ya no sería «el número de semana» tal como lo cuenta el cartel. Por eso el enunciado y la fórmula tienen que usar el mismo n.

Ejemplo 2. Asientos al juntar mesas

Una mesa cuadrada, sola, tiene 4 asientos. Al juntar dos mesas por un lado se pierden los asientos del lado compartido y quedan 6. Con tres mesas en fila quedan 8. Se quiere el número de asientos con n mesas en una sola fila.

  1. Lista: n = 1 → 4; n = 2 → 6; n = 3 → 8. La diferencia es 2 cada vez que se añade una mesa.
  2. Frase: hay 4 asientos en la primera mesa, y cada mesa nueva añade 2 asientos (los dos lados largos; los cortos ya no están libres por dentro de la fila).
  3. Fórmula: 4 + (n − 1) · 2 = 4 + 2n − 2
    4 + 2n − 2 = 2n + 2.
  4. También se puede ver como 2 asientos en cada cabecera más 1 asiento a cada lado de cada mesa: 2 + 2n, el mismo resultado.
  5. Comprobación n = 3:
    2 · 3 = 6
    6 + 2 = 8. Caso nuevo n = 5: 12 asientos.

sn = 2n + 2

n es el número de mesas en fila; 2n cuenta un asiento por cada lado largo de cada mesa; el +2 cuenta las dos cabeceras; sn es el número de asientos.

Las dos lecturas, la de la diferencia constante y la del dibujo, dan la misma fórmula. Cuando no dan la misma, una de las dos frases está mal contada. No se elige la que «queda más bonita».

Ejercicios

1. Otra diferencia constante

La lista es 7, 12, 17, 22. Escribe an con n empezando en 1 y calcula el término 10.

Corrección
  1. La diferencia es 5. a1 = 7.
  2. an = 7 + (n − 1) · 5
    7 + (n − 1) · 5 = 5n + 2.
  3. Comprueba n = 4: 20 + 2 = 22. Correcto.
  4. n = 10:
    50 + 2 = 52.

5n daría 5, 10, 15, 20, que va por detrás de la lista. El +2 es exactamente lo que separa 5n de 7, 12, 17, 22. Sin ese ajuste, n = 1 ya falla.

2. El producto de dos consecutivos

Observa 2, 6, 12, 20, 30. La diferencia ya no es constante. Halla una fórmula para el término n y el término 6.

Corrección
  1. 2 = 1 · 2, 6
    1 · 2, 6 = 2 · 3, 12
    2 · 3, 12 = 3 · 4, 20
    3 · 4, 20 = 4 · 5, 30
    4 · 5, 30 = 5 · 6.
  2. El término n es n(n + 1).
  3. n = 6:
    6 · 7 = 42.

Las diferencias 4, 6, 8, 10 crecen de dos en dos, así que no vale la fórmula a1 + (n − 1)d. El emparejamiento con n y n + 1 explica todos los términos dados, no solo el último.

3. Cuadrícula

Una figura pone 1 punto, luego un cuadrado 2 × 2 con 4 puntos, luego 3 × 3 con 9, luego 4 × 4 con 16. Escribe la fórmula y el número de puntos en el paso 7.

Corrección
  1. En el paso n hay n filas y n columnas.
  2. El número de puntos es n2.
  3. Paso 7: 49 puntos.

1, 4, 9, 16 son cuadrados perfectos y el lado de la figura es precisamente n. n(n + 1) daría 2, 6, 12, 20, que es el ejercicio anterior, no este dibujo.

4. Fracciones que se acercan a 1

La lista es 1/2, 2/3, 3/4, 4/5. Escribe el término n y el término 6, en fracción.

Corrección
  1. El numerador es la posición n. El denominador es uno más: n + 1.
  2. an = n / (n + 1).
  3. n = 1 da 1/2
    n = 4 da 4/5. Encaja.
  4. n = 6 da 6/7.

Cada término está a 1 / (n + 1) de distancia de 1, porque 1 − n/(n + 1) = 1/(n + 1). La fórmula no solo reproduce la lista: explica por qué se acerca a 1 sin llegar nunca, para n entero positivo.

Cierre

Di en voz alta cómo crece el paso, escribe la fórmula con el mismo n del enunciado y compruébala en los datos y en un término nuevo. Si es una figura, la frase tiene que contar piezas, no solo nombrar la forma.