Matemáticas Aplicadas a las CCSS I · 1º Bachillerato
Lección 08 · A.4 Educación financiera
Interés simple e interés compuesto
Decreto 40/2022 CyL · primer curso · sentido numérico A.4
Objetivos
Calcular el interés simple I = C · r · t y el capital final C · (1 + r · t).
Calcular el capital a interés compuesto C · (1 + r)t cuando r es el tanto por uno de cada periodo de capitalización y t es el número de esos periodos.
Nombrar, en cada fórmula, qué cantidad es cada letra y en qué unidad está.
Comparar, con los mismos datos, el capital simple y el compuesto, y explicar la diferencia como interés del interés.
Rechazar un resultado que usa el porcentaje en vez del tanto por uno, porque el orden de magnitud no cabe en el capital.
Qué es cada letra antes de sustituir
C es el capital inicial, en euros en todos los problemas de esta lección. r es el tanto por uno por periodo: un 4 % por año es r = 0,04, no r = 4. t es el número de periodos, y el periodo de t tiene que ser el mismo que el de r. Si r es anual, t va en años. I es el interés producido, en euros, no un porcentaje. El capital final es el inicial más los intereses, también en euros.
En el interés simple, cada periodo produce el mismo interés C · r, porque la base no cambia. En t periodos, I = C · r · t. En el compuesto, al acabar un periodo el interés se suma al capital y el periodo siguiente aplica r a esa suma. Por eso el factor de un periodo es (1 + r), y el de t periodos seguidos es (1 + r)t.
I = C · r · t
En el depósito del ejemplo 1, C = 1 500 euros, r = 0,04 por año (el 4 % anual escrito por uno) y t = 5 años. I = 300 euros es el interés total, no el capital. Si se pusiera r = 4, el producto sería 1 500 × 4 × 5 = 30 000 euros de interés, veinte veces el capital, y la comprobación de orden de magnitud lo rechaza: un 4 % anual durante cinco años es exactamente la quinta parte del capital (0,04 × 5 = 0,20), no veinte capitales.
Cf = C · (1 + r · t)
Cf es el capital final a interés simple, en euros. En el mismo depósito, 1 + r · 0,04 × 5 = 0,20
1 + 0,20 = 1,20
t = 1,20, y Cf = 1 500 × 1,20 = 1 800 euros. El 1 del paréntesis conserva el capital; r · t es la fracción de capital que se añade como interés. No es C · (1 + r) · t: eso multiplicaría el capital con un año de interés por el número de años y daría otra cosa.
Ct = C · (1 + r)t
En el ejemplo 2, C = 2 000 euros, r = 0,05 por periodo anual y t = 2 años de capitalización anual. (1 + r) = 1,05 es el factor de un año, el exponente t = 2 repite ese factor dos veces, y Ct = 2 205 euros es el capital al cabo de esos dos años. r sigue siendo tanto por uno del periodo, no el número 5.
De dónde sale la diferencia
Con los mismos C, r y t enteros positivos y r > 0, el capital compuesto supera al simple en cuanto t ≥ 2. En un solo periodo coinciden: C(1 + r) es los dos modelos. A partir del segundo periodo, el compuesto remunera el interés ya generado y el simple no. Esa diferencia no es una comisión ni una TAE: es solo interés del interés dentro de estos dos modelos. No se le asigna aquí ningún nombre de coste anual oficial.
Ejemplo resuelto 1. Interés simple
Se depositan 1 500 euros al 4 % anual a interés simple durante 5 años. La tasa y el tiempo están en años. Calcula el interés y el capital final.
Datos: C = 1 500 euros, r = 4/100 = 0,04 por año, t = 5 años. El periodo coincide.
Interés de un año: 1 500 × 0,04 = 60 euros. Esta cantidad se repite cada año porque la base no crece.
I = 60 × 5 = 300 euros. En la fórmula directa: 1 500 × 0,04 × 5 = 300.
Capital final: 1 500 + 300 = 1 800 euros. Con el factor: 0,04 × 5 = 0,20
1 + 0,20 = 1,20 y 1 500 × 1,20 = 1 800.
Comprobación: 1 800 − 1 500 = 300, que es I. Y 300 / 5 = 60, que es el interés anual, y 60 / 1 500 = 0,04, que es r.
Frase: el interés simple de esos cinco años es 300 euros y el capital final es 1 800 euros.
I = 1 500 × 0,04 × 5 = 300
1 500 es C en euros, 0,04 es r por año, 5 es t en años y 300 es I en euros. Ninguna letra está en porcentaje: el 4 % ya se convirtió en 0,04 antes de multiplicar.
Ejemplo resuelto 2. El mismo esquema, a interés compuesto, y la comparación
Un capital de 2 000 euros se capitaliza anualmente al 5 % durante 2 años. Calcula el capital compuesto y compáralo con el simple de los mismos datos.
Datos: C = 2 000 euros, r = 0,05 por año, t = 2 capitalizaciones anuales.
Factor de un año: 1 + 0,05 = 1,05.
Dos años: 1,052 = 1,05 × 1,05. 1,05 × 1 = 1,05 y 1,05 × 0,05 = 0,0525, suma 1,1025.
Capital compuesto: 2 000 × 1,1025 = 2 205 euros.
Año a año, para comprobar: primer año 2 000 × 1,05 = 2 100 euros (interés 100). Segundo año 2 100 × 1,05 = 2 205 euros (interés 105). El segundo interés es 5 euros mayor que el primero.
Interés simple con los mismos datos: I = 2 000 × 0,05 × 2 = 200 euros. Capital simple: 2 200 euros.
Diferencia: 2 205 − 2 200 = 5 euros. Es r por el interés del primer año: 100 × 0,05 = 5. El simple no paga esos 5 euros; el compuesto sí.
Frase: a interés compuesto el capital es 2 205 euros; a interés simple, con los mismos datos, 2 200 euros.
2 000 × (1,05)2 = 2 205
2 000 es C en euros, 1,05 es 1 + r con r = 0,05 anual, el exponente 2 es t, el número de años, y 2 205 es el capital final compuesto en euros. El 200 de interés simple no está en esta fórmula: sale de C · r · t = 2 000 × 0,05 × 2.
Escribe el razonamiento
Ejercicios
1. Simple, cuatro años al 3 %
Capital inicial 800 euros, interés simple, r = 3 % anual, t = 4 años. Halla I y el capital final.
Corrección
r = 0,03 por año. Interés anual: 800 × 0,03 = 24 euros.
El interés es 96 euros y el capital final es 896 euros. Los 24 euros anuales no crecen: en el simple la base sigue siendo 800 cada año. Por eso cuatro veces 24 es exacto y no hay que elevar 1,03 a la cuarta.
2. Compuesto, tres años al 10 %
Capital inicial 500 euros, capitalización anual al 10 % durante 3 años. Halla el capital final.
Corrección
r = 0,10 y 1 + r = 1,10. t = 3.
1,102 = 1,21. 1,21 × 1,10 = 1,331.
500 × 1,331 = 665,50 euros.
Año a año: 500 × 1,10 = 550; 550 × 1,10 = 605; 605 × 1,10 = 665,50.
El capital final es 665,50 euros. El simple de los mismos datos sería 500 × 0,10 = 50
50 × 3 = 150
I = 150 y capital 650 euros. La diferencia, 15,50 euros, es el interés que el simple no incorpora: no hace falta llamarla de otra manera para ver que el compuesto va por delante.
3. Comparar simple y compuesto a dos años y al 2 %
C = 1 000 euros, r = 2 % anual, t = 2 años. Calcula el capital simple y el compuesto, y la diferencia.
Corrección
Simple: I = 1 000 × 0,02 × 2 = 40 euros. Capital 1 040 euros.
Interés del primer año: 20 euros. El 2 % de 20 euros es 0,40 euros. Esa es la diferencia.
Simple: 1 040 euros. Compuesto: 1 040,40 euros. Diferencia: 0,40 euros. Con t = 2 la comparación cabe en una sola línea de interés sobre interés. No es una TAE ni un redondeo: 1,02 × 1,02 da 1,0404 exactamente, y el cuarto decimal sobre 1 000 euros son 40 céntimos.
4. Recuperar la tasa a partir del interés simple
Un capital de 400 euros produce, a interés simple y en 2 años, un capital final de 448 euros. Halla r como tanto por uno anual y como porcentaje anual. Comprueba sustituyendo.
Corrección
I = 448 − 400 = 48 euros.
48 = 400 · r · 2
400 · r · 2 = 800 r, luego r = 48/800 = 0,06.
Como porcentaje anual: 0,06 × 100 = 6. La tasa es el 6 % anual.
Comprobación: 400 × 0,06 = 24 euros al año; en dos años, 48; 400 + 48 = 448.
r = 0,06 por año, es decir el 6 % anual simple. Despejar r divide el interés entre el producto C · t; dividir 48 entre 400 y olvidar los dos años daría 0,12, el doble, porque se habría tratado el interés de dos años como si fuera de uno. La sustitución final distingue las dos tasas: con 0,12 el interés de dos años sería 96 euros y el capital 496, que no es 448.
Cierre
Interés simple: cada periodo paga C · r y el total es C · r · t. Interés compuesto: el capital se multiplica por (1 + r) una vez por periodo. r es tanto por uno del mismo periodo en el que se cuenta t. La diferencia entre los dos capitales, cuando t es al menos 2, es interés generado por el interés anterior. Con los datos de esta lección no se calcula la TAE.