El p % de una cantidad C es (p/100) · C. Subir un p % es sumar esa parte: el nuevo valor es C + (p/100) C = C (1 + p/100). Bajar un p % es restarla: C (1 − p/100). El factor concentra la operación. p es el tanto por ciento; p/100 es el tanto por uno. Usar p en vez de p/100 multiplica por cien de más, el mismo error que ya se localizó al calcular un 15 %.
C₁ = C · (1 + p/100)
En el precio de 80 euros que sube un 25 %, C = 80 es el precio inicial en euros, p = 25 es el porcentaje de aumento,
25 / 100 = 1/4
1 + 1/4 = 1,25 es el factor, y C₁ = 100 es el precio tras la subida, también en euros. El 25 no se suma a 80.
C₂ = C₁ · (1 − q/100)
En la bajada posterior, C₁ = 100 euros es la base de esta segunda operación, no los 80 iniciales; q = 20 es el porcentaje de bajada; 20 / 100 = 1/5
1 − 1/5 = 0,80 es el factor; C₂ = 80 es el precio final. La base ha cambiado, por eso q no se resta de p como si ambos hablaran de los 80 euros.
Si después del primer cambio hay otro, el segundo porcentaje se refiere al valor ya cambiado. El factor total es el producto de los factores. No existe un porcentaje único que sea la suma, salvo que se calcule aparte el producto y luego se traduzca a un tanto por ciento del inicial, que es otra cuenta.
Subir un 25 % y luego bajar un 20 % tiene factor 1,25 × 0,80 = 1,00. El neto es quedarse igual, no subir un 5 %. Bajar primero un 20 % y subir después un 25 % da el mismo producto, 0,80 × 1,25 = 1, también en este par concreto. No siempre da igual el orden para el relato (la cantidad intermedia cambia), pero el factor final de dos multiplicaciones sí conmuta.
Dos subidas del 10 % no son una del 20 %. El factor es 1,10 × 1,10 = 1,21, es decir un 21 % sobre el inicial. El 1 % que sobra respecto del 20 % es el 10 % aplicado a la primera subida: se llama a veces interés sobre el aumento, y aparece porque la segunda base es mayor.
Si una tasa pasa del 20 % al 25 %, la diferencia es de 5 puntos porcentuales. El aumento relativo de esa tasa es 5/20 = 0,25, esto es un 25 % de la tasa inicial. Comprobación: 20 × 1,25 = 25. Un aumento relativo del 5 % habría dejado la tasa en 20 × 1,05 = 21, no en 25. En ciencias sociales las dos lecturas conviven en la misma noticia; el modelo obliga a decir cuál de las dos se está calculando.
aumento relativo = (tasa final − tasa inicial) / tasa inicial
Aquí la tasa inicial es 20 (por ciento), la tasa final es 25 (por ciento) y el aumento relativo es 5/20 = 0,25. El numerador 5 es la diferencia en puntos, no un 5 % del colectivo. El denominador es la tasa de partida, 20, no 100.
Las alturas del dibujo guardan la proporción 100, 150 y 75. El segundo 50 % se calcula sobre 150, y la mitad de 150 es 75, no 50. El factor neto 1,50 × 0,50 = 0,75 es una bajada del 25 % respecto del inicial: 100 × 0,75 = 75.
Un artículo cuesta 80 euros. Sube un 25 % y, sobre el precio nuevo, baja un 20 %. ¿Cuál es el precio final y qué porcentaje neto hay sobre los 80 euros?
80 × 1,25 = 100
100 × 0,80 = 80
80 es el precio inicial en euros, 1,25 es el factor de subir un 25 %, 0,80 es el factor de bajar un 20 % sobre el precio ya subido, y el 80 final es el producto. El 100 intermedio no aparece en la fórmula compacta, pero es 80 × 1,25 y es la base de la segunda operación.
Un salario de 2 000 euros sube un 10 % y, al año siguiente, otro 10 % sobre el salario ya subido. Compáralo con una sola subida del 20 %.
2 000 × 1,10 × 1,10 = 2 420
2 000 es el salario inicial en euros, cada 1,10 es el factor de un aumento del 10 % aplicado a la cantidad vigente en ese momento, y 2 420 es el salario final en euros. El 1,21 = 1,10² es el factor acumulado respecto del inicial; el 0,21 es un 21 %, no la suma 10 + 10 escrita sin más.
Un precio de 50 euros sube un 20 %. Halla el precio final de dos maneras.
El precio final es 60 euros. Las dos vías son el mismo modelo escrito expandido o factorizado. Sumar 20 a 50 daría 70, que sería un aumento de 20 euros, no del 20 %.
Un presupuesto de 120 euros baja un 15 %. Halla el presupuesto final y comprueba restando la parte.
El presupuesto final es 102 euros. El 15 % se resta de la base 120; no se resta el número 15. Y 102 / 120 = 0,85, que recupera el factor: la comprobación inversa cierra el cálculo.
Parte de 100 euros. Aplica un aumento del 50 % y, sobre el resultado, una disminución del 50 %. Di el valor final y el porcentaje neto sobre los 100 euros iniciales.
Se acaba en 75 euros, un 25 % por debajo del inicio. +50 y −50 no suman cero: la bajada actúa sobre 150, que es una base mayor, así que quita 75 euros después de haber añadido solo 50. La diferencia 75 − 50 = 25 es justo el 25 % del inicial.
Un importe de 400 euros sufre dos aumentos sucesivos del 5 %. Calcula el importe final y compáralo con un único aumento del 10 %.
El importe final es 441 euros, un euro más que 440. Sumar los porcentajes deja fuera el 5 % del primer aumento. El factor 1,1025 es un 10,25 % sobre el inicial, no un 10 %: las centésimas son ese euro partido entre los 400 euros de partida (1/400 = 0,0025).
Cada porcentaje lleva su propia base. El factor 1 + p/100 o 1 − p/100 evita sumar el tanto por ciento al dinero. Encadenar es multiplicar factores. La frase final dice el valor en euros y, si se pide el efecto sobre el inicio, el porcentaje que corresponde al factor acumulado, no la suma de los porcentajes del camino.