Calcular permutaciones de n elementos distintos, n!, como el caso k = n.
Calcular combinaciones C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) cuando el orden no distingue.
Comprobar con la relación V(n, k) = C(n, k) × k! en un caso pequeño.
La pregunta que elige la técnica
Se parte de un conjunto de n elementos distintos. Se forman grupos de k elementos, con k ≤ n, sin repetir elemento dentro del grupo. Hay dos preguntas:
¿Dos grupos con los mismos elementos en distinto orden cuentan como dos resultados? Si sí, es una variación. Si no, es una combinación.
¿El grupo usa los n elementos, es decir k = n? Entonces la variación se llama permutación: es un orden de todo el conjunto.
Esta lección no usa variaciones con repetición ni combinaciones con repetición. Si el enunciado permitiera repetir (un código donde la misma cifra vuelve a salir), el modelo sería otro y no se aplica V(n, k). El decreto, en la formulación que seguimos aquí, pide estas tres técnicas sin repetición.
Técnica
Orden
Tamaño
Fórmula
Variación sin repetición
importa
k de n, k ≤ n
V(n, k) = n! / (n − k)!
Permutación
importa
los n
P(n) = n!
Combinación
no importa
k de n
C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)
Factorial, el producto que cuenta un orden completo
n! se lee «n factorial» y es el producto de los enteros de n hacia abajo hasta 1. Por convenio, 0! = 1, que hará falta cuando k = n y el denominador sea (n − n)!.
En el ejemplo de los cinco informes, el 5 es el número de informes distintos, cada factor es la cantidad de huecos que quedan al elegir el siguiente, y 120 es el número de órdenes de lectura. No es una suma de informes.
El primer puesto se puede cubrir de n maneras, el segundo de n − 1 (ya no se repite el elegido), el tercero de n − 2, y así hasta completar k puestos. Ese producto es exactamente n! / (n − k)!, porque al dividir n! entre (n − k)! se cancelan los factores que no se usan.
Ejemplo resuelto 1. Variación: presidencia y tesorería
De 8 personas distintas se eligen presidencia y tesorería. Nadie ocupa los dos cargos. El cargo importa: presidenta A y tesorero B no es lo mismo que presidenta B y tesorero A.
Dato: n = 8 personas, k = 2 cargos ordenados, sin repetición.
Modelo: variación sin repetición, porque el orden (el cargo) distingue y no se repite persona.
V(8, 2) = 8! / (8 − 2)! = 8! / 6!.
8 × 7 = 56
6 · 5 = 30
30 · 4 = 120
120 · 3 = 360
360 · 2 = 720
56 × 720 = 40320
8! = 40320, así que 8! / 6! = 8 × 7 = 56. No hace falta calcular 8! entero: los factores de 6! se cancelan.
Comprobación por etapas: 8 opciones para presidencia y, elegida esa persona, 7 para tesorería. 8 × 7 = 56. El árbol tendría 56 hojas; no se listan, pero el producto de las dos etapas coincide con la fórmula.
Frase: hay 56 formas de cubrir presidencia y tesorería.
8 es n, el número de personas; 2 es k, el número de cargos; 6 es n − k, los factores del factorial que se cancelan porque no hay un tercer cargo; 56 es el número de pares ordenados (presidencia, tesorería).
Si hubiera que ordenar a las 8 personas en una fila de ocho puestos, k sería 8 y V(8, 8) = 8! / 0! = 8!. Eso ya es una permutación. El nombre cambia; la fórmula de la variación lo contiene.
Ejemplo resuelto 2. Combinación, y la misma elección ordenada
De 10 personas voluntarias se elige un grupo de trabajo de 3. Dentro del grupo no hay cargos: {Ana, Luis, Vera} es el mismo grupo que {Vera, Ana, Luis}.
Dato: n = 10, k = 3, sin repetición, orden irrelevante.
Modelo: combinación C(10, 3) = 10! / (3! × 7!).
Se cancelan los factores de 7! en 10! = 10 × 9 × 8 × 7!. Queda (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1).
Comprobación con la variación del mismo enunciado si los tres puestos fueran distintos (coordinación, acta, portavocía): 10 × 9 = 90
90 × 8 = 720
V(10, 3) = 720. Cada combinación se puede ordenar de 3! = 6 maneras, y 120 × 6 = 720. Las dos técnicas encajan; no se han contado grupos de más.
Frase: hay 120 grupos distintos de 3 personas. Si los tres cargos se distinguieran, habría 720 asignaciones, no 120.
10 es el número de voluntarios, 3 es el tamaño del grupo, 7 es lo que sobra (10 − 3) y por eso 7! está en el denominador junto con 3!, que borra el orden interno. 120 es el número de grupos, no de personas.
V(10, 3) cuenta asignaciones ordenadas de 3 cargos entre 10 personas; C(10, 3) cuenta grupos sin cargo; 3! = 6 es el número de formas de repartir tres cargos distintos dentro de un mismo grupo; 720 es el producto, que coincide con 10 × 9 × 8.
Escribe el razonamiento
En cada ejercicio escribe primero «orden sí/no» y «¿se usan todos?». Esa frase decide la fórmula antes de tocar el factorial.
Ejercicios
1. Podio de tres, entre siete
En una carrera de 7 atletas se asignan oro, plata y bronce, sin empates. ¿Cuántos podios distintos hay?
Corrección
El metal distingue el orden y no se repite atleta: variación V(7, 3).
Por etapas: 7 opciones para el oro, 6 para la plata, 5 para el bronce. 7 × 6 = 42; 42 × 5 = 210.
Hay 210 podios. Usar C(7, 3) = 35 contaría tercios de atletas sin medalla asignada: el enunciado distingue oro, plata y bronce, así que el orden forma parte del resultado.
2. Orden de cuatro intervenciones
Cuatro ponentes distintos intervienen uno detrás de otro. ¿En cuántos órdenes pueden hacerlo?
Corrección
Se ordenan los 4, todos. Es una permutación P(4) = 4!.
Hay 24 órdenes. El 0! del denominador es 1 por convenio, precisamente para que la permutación coincida con la variación de n elementos tomados de n en n. No se divide entre cero.
3. Parejas de un grupo de seis
En un grupo de 6 estudiantes se forman parejas de trabajo no ordenadas. ¿Cuántas parejas distintas hay? Lista las de un grupo imaginario {1, 2, 3, 4, 5, 6} que contengan al 1 y comprueba cuántas faltan.
Corrección
La pareja {1, 2} es la misma que {2, 1}. Combinación C(6, 2).
Parejas con el 1: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}: son 5.
Sin el 1 quedan 5 personas, y C(5, 2) = 5 × 4 = 20
20 / 2 = 10. Total 5 + 10 = 15.
Hay 15 parejas. Dividir entre 2! quita el doble conteo de cada pareja leída al revés. Si no se dividiera, V(6, 2) = 30 contaría cada pareja dos veces, una por cada forma de nombrar primero a uno o al otro.
4. Un trío de entre ocho, y un número que coincide por casualidad
De 8 proyectos se eligen 3 para financiarlos, sin orden de prioridad entre los elegidos. Calcula cuántos tríos hay. Compara el número con V(8, 2) = 56 de la presidencia y la tesorería, y di si son el mismo tipo de recuento.
No es el mismo recuento: 56 tríos no ordenados de 3 proyectos, frente a 56 pares ordenados de 2 cargos. Cambia n, cambia k y cambia si el orden cuenta.
Hay 56 tríos. Que el resultado numérico sea 56 en los dos problemas no autoriza a copiar la fórmula: la comprobación V = C × k! en este caso sería V(8, 3) = 56 × 6 = 336, que es 8 × 7 × 6, no 8 × 7. El 56 de los cargos era un producto de dos factores; este 56 es un producto de tres factores partido por 6.
Cierre
Variación sin repetición, permutación y combinación son el bloque de combinatoria de A.1. El orden y el tamaño del grupo eligen la fórmula; el factorial abreviado evita calcular productos que luego se cancelan; y V(n, k) = C(n, k) × k! comprueba que no se ha contado dos veces el mismo grupo ni se ha olvidado un orden que el enunciado distinguía.