En un árbol, cada camino multiplica las probabilidades de sus tramos. La suma de todas las hojas debe ser 1. La probabilidad condicionada P(R | A) es la probabilidad de sacar bola roja sabiendo que se eligió la caja A.
Multiplicar a lo largo de una rama da la conjunta, porque cada tramo es la probabilidad condicionada a lo que ya ocurrió: primero la caja, después el color dentro de esa caja. Sumar ramas que no se solapan da la probabilidad de una u otra. No se suman las condicionadas 3/4 y 1/2 para obtener P(roja). Esas fracciones viven en cajas distintas y hay que pesarlas por 1/2 antes de juntarlas. Esa suma pesada es la probabilidad total, que aquí ya está hecha al unir las hojas rojas: 3/8 + 2/8 = 5/8.
P(roja | A) y P(A | roja) no son la misma frase. La primera está escrita en la rama: 3/4, el color sabiendo la caja. La segunda se pregunta al revés, cuando ya se vio el color y se quiere la caja. Cambia el denominador. El ejemplo 2 calcula P(A | roja) = 3/5. El ejemplo 3 calcula la otra caja con el mismo color, para ver que las dos condicionadas de «roja» suman 1 y que ninguna de ellas es la conjunta 3/8 ni la rama 3/4.
Se elige la caja A o la B con probabilidad 1/2 cada una.
Hojas (conjuntas):
Suma: 3/8 + 1/8 + 2/8 + 2/8 = 8/8 = 1. El árbol está completo.
Queremos P(A | roja): probabilidad de haber elegido la caja A sabiendo que salió roja.
Método 1 · definición. P(A y roja) / P(roja). P(roja) = 3/8 + 2/8 = 5/8. Luego (3/8) / (5/8) = 3/5.
Método 2 · peso de las hojas rojas. Entre las hojas que son rojas, la de A pesa 3/8 y la de B pesa 2/8. La proporción de A dentro de lo rojo es (3/8) / (5/8) = 3/5.
Los dos métodos dan 3/5. No es la hoja 3/8: condicionar cambia el denominador.
Misma urna de hojas que en el ejemplo 1. Ahora se pide P(B | roja), no P(A | roja).
Comprobación cruzada con las conjuntas: (3/5) · (5/8) = 3/8, que recupera P(A y roja), y (2/5) · (5/8) = 2/8, que recupera P(B y roja). Si al multiplicar otra vez no vuelves a la hoja, la condicionada estaba mal simplificada. Aquí los ochos se cancelan en el paso 2 y reaparecen en esta vuelta.
Sobre el mismo árbol caben cinco preguntas con cinco resultados distintos. P(A y roja) = 3/8. P(roja | A) = 3/4. P(A | roja) = 3/5. P(B | roja) = 2/5. P(roja) = 5/8. Ninguna es igual a otra: 3/8 ≠ 3/4 porque 3/4 = 6/8; 3/5 ≠ 3/8; 2/5 ≠ 1/2, y 1/2 sería la rama P(roja | B); 5/8 ≠ 3/8. Si dos de estas preguntas se contestan con la misma fracción, se ha copiado el denominador de la vecina.
La vuelta al producto cierra el círculo. P(A | roja) · P(roja) = (3/5)·(5/8) = 3/8. P(B | roja) · P(roja) = (2/5)·(5/8) = 2/8. Salen las dos hojas rojas, y 3/8 + 2/8 = 5/8, que es P(roja) otra vez. La condicionada no sustituye a la conjunta: se multiplica por ella cuando se quiere volver al árbol. El reto pide la condicionada azul, que no se calcula aquí; las rojas ya suman 1 entre las dos cajas y con eso el árbol rojo queda cerrado.
| roja | azul | total | |
|---|---|---|---|
| caja A | 3/8 | 1/8 | 4/8 |
| caja B | 2/8 | 2/8 | 4/8 |
| total | 5/8 | 3/8 | 8/8 |
4/8 = 1/2, que es P(A) y también P(B): el primer tramo del árbol era equilibrado y la tabla lo conserva. El color no lo es: 5/8 de roja contra 3/8 de azul. Condicionar por roja es leer solo la columna roja y pasar de 3/8 y 2/8 a 3/5 y 2/5. Condicionar por caja es leer la fila: en la fila A, 3/8 y 1/8 se convierten en 3/4 y 1/4 al dividir entre 4/8. La fila ya estaba escrita en las ramas. La columna no: por eso P(A | roja) hay que calcularla y no se lee en el primer tramo.
Primera cuenta falsa: 3/8 + 1/8 = 4/16, sumando denominadores. Corrección: el denominador ya es el mismo, así que 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2, que es P(A). 4/16 = 1/4 no es la probabilidad de elegir la caja A.
Segunda: usar la rama en vez de la conjunta y hacer (3/4) / (1/2) = 3/2 como si eso fuera P(A | roja). 3/2 es mayor que 1. Una condicionada no puede pasar de 1. La división buena es (3/8) / (5/8) = 3/5, que sí cabe en el intervalo.
Tercera: 3/8 + 2/8 = 5/16. Corrección: 5/8, P(roja). Con 5/16 las hojas rojas no llegan a lo que luego exige el complemento, y el árbol dejaría de sumar 1. La vuelta (3/5)·(5/8) = 3/8 recupera la hoja solo si el 5 del denominador es el de P(roja), no un 16 fabricado al sumar.
Las mismas hojas en decimal exacto, para ver que no hay redondeo escondido. (1/2)·(3/4) = 0,375 = 3/8. (1/2)·(1/4) = 0,125 = 1/8. (1/2)·(1/2) = 0,25 = 2/8, dos veces. Suma: 0,375 + 0,125 + 0,25 + 0,25 = 1. Las rojas: 0,375 + 0,25 = 0,625 = 5/8. Y 0,375 / 0,625 = 375/625. Divide entre 125: 375÷125 = 3 y 625÷125 = 5, luego 3/5. El decimal 0,6 es 3/5 exacto, igual que 0,16 era 4/25 en la lección siguiente: aquí también el decimal corto coincide con la fracción. 0,375 no es una aproximación de 3/8; es 3/8, porque 0,375 = 375/1000 = 3/8.
Si la caja A se elige con probabilidad 1/3 y la B con 2/3, y las bolas no cambian, las hojas ya no son las de la lección. (1/3)·(3/4) = 1/4 = 3/12, A y roja. (1/3)·(1/4) = 1/12, A y azul. (2/3)·(1/2) = 1/3 = 4/12, B y roja. (2/3)·(1/2) = 4/12, B y azul. Suma 3+1+4+4 = 12 sobre 12. P(roja) = 7/12, no 5/8. P(A | roja) = (3/12)/(7/12) = 3/7, no 3/5. El 3/5 de la lección dependía de que las cajas pesaran igual. Cambiar el primer tramo cambia la condicionada aunque las urnas sean las mismas. El árbol de la página, con pesos 1/2, no se sustituye por este: sirve de contraste.
En el árbol con pesos 1/3 y 2/3, la otra condicionada de la roja es P(B | roja) = (4/12) / (7/12) = 4/7. 3/7 + 4/7 = 1. No es el 2/5 de la lección, porque allí las cajas pesaban igual y las hojas rojas eran 3/8 y 2/8. Aquí son 3/12 y 4/12. El denominador 7 es P(roja) en doceavos, no un 5 traído del otro árbol. Mezclar el 3/5 con estas hojas daría (3/5)·(7/12) = 21/60 = 7/20, que no es ninguna hoja: ni 3/12 ni 4/12. Cada árbol se multiplica con sus propias condicionadas.
0,375 = 375/1000 = 3/8 se simplifica dividiendo entre 125: 375÷125 = 3 y 1000÷125 = 8. Por eso el decimal de la hoja A y roja, en el árbol equilibrado, no es un redondeo. El 3/7 del árbol desigual no tiene un decimal corto: 3/7 = 0,428571… con periodo. 3/7 a centésimas es 0,43 y 4/7 es 0,57. Esas dos centésimas suman 1,00, pero 0,43 no es 3/7: 0,43 · 7 = 3,01, no 3. El producto delata el redondeo aunque la suma de los dos decimales cuadre. Se quedan las fracciones.
Responder 3/8 a «¿qué caja es, sabiendo que es roja?». 3/8 es la conjunta P(A y roja). La condicionada reescala entre las hojas rojas y da 3/5. Otro fallo: sumar solo las hojas de A y olvidar que el total de hojas es 1; aquí A suma 3/8 + 1/8 = 1/2, que es la probabilidad de elegir A, no la condicionada.
Escribe aquí los pasos, con unidades o fracciones. Puedes borrar el rótulo y usar el hueco como papel.
Por qué: 3/8+1/8+2/8+2/8 = 8/8. Si te falta una hoja, el árbol no está listo para condicionar.
Por qué: solo las hojas rojas: 3/8 y 2/8. 3+2 = 5, pero el denominador de la condicionada ya no es 8. Condicionar cambia el denominador porque el total ya no es el de todas las hojas, sino el de las que cumplen la condición, aquí las rojas: 3/8 + 2/8 = 5/8. Por eso no se deja 3/8: esa fracción es la conjunta de la caja A y el color rojo, no la probabilidad de la caja A sabiendo que salió roja. Dentro de lo rojo, la parte de A es (3/8)/(5/8) = 3/5.
Por qué: dividir por una fracción es multiplicar por el inverso: (3/8)·(8/5) = 3/5. Los ochos se cancelan.
Las cuatro hojas suman 1. P(roja) = 5/8. P(A | roja) = (3/8)/(5/8) = 3/5 por la definición y por el peso de las hojas rojas. La conjunta 3/8 no responde a la pregunta condicionada.
Calcula P(B | azul) por los dos métodos. Comprueba que las hojas azules suman 1/8 + 2/8 = 3/8 y que tu respuesta es una fracción con denominador 3.
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