Si un experimento tiene n resultados posibles equiprobables y el suceso A ocurre en f de ellos, la regla de Laplace dice P(A) = f/n. Si los resultados no son equiprobables, contar casillas ya no basta: hay que pesar cada resultado, o usar ángulos, o áreas.
Equiprobable quiere decir que cada resultado elemental pesa igual, no que cada nombre pese igual. En dos dados, el par ordenado (1, 1) es un caso, y (1, 2) es otro caso distinto de (2, 1). Hay 36 pares, no 11 sumas. Cada suma agrupa un número distinto de pares: la suma 2 solo tiene (1, 1); la suma 7 tiene seis. Contar sumas como si fueran casos es aplicar Laplace al objeto equivocado.
En la ruleta el caso elemental es el ángulo. Un grado pesa lo mismo que otro grado. Un color que ocupa 90° pesa como 90 de esos casos, no como un color de dos. Por eso 90/360 = 1/4 y no 1/2. El ejemplo 3 vuelve a los dados, a una suma que no es la del reto, y enseña la tabla entera de las 36 parejas para que el denominador se vea salir de la suma, no de una memoria.
Dado cúbico. Suceso «sacar 5 o 6». Favorables: 2. Posibles: 6. P = 2/6 = 1/3.
Dos monedas. Resultados (cara-cara, cara-cruz, cruz-cara, cruz-cruz), los cuatro igual de verosímiles si las monedas están equilibradas. Suceso «exactamente una cara»: dos resultados (cara-cruz y cruz-cara). P = 2/4 = 1/2.
Suma 7 con dos dados cúbicos: las parejas (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) son 6 de 36. P = 6/36 = 1/6.
Una ruleta de 360° tiene un sector «premio» de 90° y el resto, 270°, es «nada». Si la aguja se detiene al azar de forma uniforme en el ángulo, no hay seis casillas iguales: hay dos regiones de tamaño distinto.
Si alguien cuenta «dos colores, luego 1/2», aplica Laplace donde no hay equiprobabilidad. Los colores no pesan igual.
Dos dados cúbicos equilibrados. Suceso: la suma de las caras es 8. Los resultados elementales son parejas ordenadas, las 6 · 6 = 36.
| suma | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| parejas | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Control de la tabla: 1+2+3+4+5+6 = 21 y 5+4+3+2+1 = 15; 21+15 = 36. La suma 7, que ya valía 6/36 = 1/6 en el ejemplo 1, es la casilla del 6. La suma 8 es la del 5. La suma 2 es la del 1, no un caso igual de frecuente que la suma 7. Quien iguala esas dos sumas está contando nombres, no parejas.
Con la tabla de parejas ya sumada a 36 se pueden agrupar sucesos sin volver a listar dados. Suma ≤ 4: las casillas 2, 3 y 4 valen 1+2+3 = 6, luego 6/36 = 1/6. Suma ≥ 10: casillas 10, 11 y 12 valen 3+2+1 = 6, también 1/6. Lo que queda en medio, de 5 a 9, es 36 − 6 − 6 = 24 parejas, 24/36 = 2/3. Y 1/6 + 1/6 + 2/3 = 1/6 + 1/6 + 4/6 = 1. Las dos colas pesan igual en este dado porque la tabla es simétrica: la casilla de la suma s coincide con la de la suma 14 − s. Suma 8 y suma 6 valen las dos 5; no hace falta una segunda lista.
Suma par: casillas 2, 4, 6, 8, 10 y 12, o sea 1+3+5+5+3+1 = 18. P = 18/36 = 1/2. Suma impar: las otras 18, también 1/2. Aquí Laplace sobre «par o impar» sí da 1/2, porque los dos sucesos juntan el mismo número de parejas. Eso no arregla el error de la ruleta ni el de tratar las once sumas como once casos. El 1/2 sale de contar 18, no de decir «dos nombres, par e impar».
Lista completa de las parejas, para que el 5 de la suma 8 no sea una casilla aislada. Suma 2: (1,1). Suma 3: (1,2), (2,1). Suma 4: (1,3), (2,2), (3,1). Suma 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1). Suma 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1). Suma 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Suma 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). Suma 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3). Suma 10: (4,6), (5,5), (6,4). Suma 11: (5,6), (6,5). Suma 12: (6,6). Recuento: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Suma del recuento: 36. No falta (1,7) ni sobra (4,4) dos veces.
La suma 3, que es el reto, no se resuelve aquí: en la lista de arriba se ve el método, no se hace el ejercicio. El método es el mismo que para el 8: escribir parejas ordenadas, contarlas y dividir entre 36. La ruleta no admite ese método, porque 90° y 270° no son dos parejas.
Suceso nuevo, mismos 36 pares: que salga al menos un 6. Pares con el primer dado en 6: (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), seis pares. Pares con el segundo en 6 y el primero distinto de 6: (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), cinco más. Total 11. P = 11/36. El atajo 1/6 + 1/6 = 1/3 = 12/36 cuenta (6,6) dos veces. Corrección: se resta el doble, 1/36. 12/36 − 1/36 = 11/36. Sin esa resta el numerador miente.
Los dobles, otro suceso: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Son 6 de 36, P = 1/6. Aquí sí coincide con «una cara de seis», pero por un recuento, no porque cualquier suceso con la palabra seis valga 1/6. «Al menos un 6» vale 11/36, que no es 1/6. 11/36 − 1/6 = 11/36 − 6/36 = 5/36. Esa diferencia son precisamente los cinco pares en los que el 6 va solo en un dado y el otro dado no repite. La regla de Laplace no reparte el mismo número a cada frase: lo reparte a cada pareja.
Una ruleta partida en tres sectores de 120° sí admite el 1/3, porque 120/360 = 1/3 y los tres ángulos son iguales. Ahí Laplace sobre los tres colores y el cociente de ángulos dan lo mismo. En la ruleta de la lección, 90 y 270, no: 90/360 = 1/4 y 270/360 = 3/4. El método del ángulo es el que sigue valiendo cuando los colores dejan de pesar igual. Contar «dos colores» es el método que se rompe. 1/4 + 3/4 = 1, igual que 11/36 + 25/36 = 1 en el suceso del 6 y su complementario (los 25 pares sin ningún 6: 5·5 = 25).
5·5 = 25 se puede ver como el dado que no es 6, cinco caras, en cada uno de los dos dados. 36 − 25 = 11, el mismo 11 de la lista. Si la resta y la lista no coincidieran, faltaría un par o se habría contado (6,6) dos veces y no se habría restado.
Partir la suma 8 en tres sucesos que agotan los 36 pares. Suma menor que 8: casillas 2 a 7, o sea 1+2+3+4+5+6 = 21, P = 21/36 = 7/12. Suma mayor que 8: casillas 9 a 12, 4+3+2+1 = 10, P = 10/36 = 5/18. Suma igual a 8: 5/36. Control: 21/36 + 5/36 + 10/36 = 36/36 = 1. 7/12 es mayor que 1/2 porque las sumas bajas juntan más parejas que las altas: 21 contra 10, y el 5 del centro no compensa. Quien reparte «por debajo, igual, por encima» en tres tercios está contando tres nombres. Los tamaños son 21, 5 y 10.
Producto 12, otro recuento corto. Parejas ordenadas: (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2). (1, 12) no existe. Son cuatro, P = 4/36 = 1/9. No es la suma 8, que eran cinco parejas: el producto y la suma no comparten el numerador. 4/36 frente a 5/36. Quien busque «el 12» en la tabla de sumas está en la casilla equivocada; la suma 12 es solo (6, 6), una pareja, P = 1/36.
Los dos dados pares a la vez: caras 2, 4 y 6, tres por tres, 9 parejas, P = 9/36 = 1/4. Los dos impares, otras 9, también 1/4. Uno par y uno impar: 36 − 18 = 18, P = 1/2. 9+9+18 = 36. El 1/2 de este suceso sale de 18 parejas, igual que el 1/2 de la suma par salía de otras 18. Mismo valor, distinto suceso: no se copia el 1/2 de una frase a la de al lado sin volver a contar.
Contar «tipos» en vez de casos equiponderados: dos colores en la ruleta, o «suma 7» frente a «suma 2» en dos dados como si ambos tuvieran una sola pareja. Suma 2 solo tiene (1,1): una de 36, no 1/2.
Escribe aquí los pasos, con unidades o fracciones. Puedes borrar el rótulo y usar el hueco como papel.
Por qué: divide numerador y denominador entre 2. Con un dado, 5 y 6 son dos caras de seis. No son «la mitad de las caras altas».
Por qué: hay seis parejas ordenadas que suman 7. 6/36 se simplifica entre 6. No confundas con 7/36, que sería otra cuenta.
Por qué: 90/360 = 9/36 = 1/4. El sector grande no es un caso más: ocupa el triple de ángulo, luego 3/4.
Con equiprobabilidad, P(5 o 6) = 2/6 = 1/3 y P(suma 7) = 6/36 = 1/6. En la ruleta de 90° y 270°, los dos colores no son equiprobables: P(premio) = 1/4, no 1/2.
Con dos dados cúbicos equilibrados, ¿cuántas parejas ordenadas suman 3? Escribe P(suma 3) como fracción simplificada. Luego explica en una frase por qué no puedes usar la misma lógica de «dos colores» de la ruleta para este dado.
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