Problemas con coordenadas: medio, distancia y alineación

Objetivos

• Calcular el punto medio y la distancia entre dos puntos.
• Decidir si tres puntos están alineados.
• Calcular la distancia de un punto a una recta y comprobar el pie.

Explicación

Punto medio y distancia

El punto medio de (x₁, y₁) y (x₂, y₂) es ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).

La distancia es √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

M será el punto medio. Se promedia cada coordenada; no se suman y se dejan sin dividir.

Alineación

Tres puntos A, B y C están alineados cuando el vector AB y el vector AC son proporcionales. Con coordenadas, el determinante

(x_B − x_A)(y_C − y_A) − (x_C − x_A)(y_B − y_A)

vale 0. Si no vale 0, no están en la misma recta.

Distancia de un punto a una recta

Si la recta es ax + by + c = 0 y el punto es (x₀, y₀),

distancia = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²).

Las barras | | son valor absoluto: la distancia no sale negativa. El denominador es el módulo del vector (a, b), normal a la recta.

Ejemplo 1 · Medio, distancia y alineación

A(1, 2), B(4, 6) y C(7, 10).

1. Medio de A y B: ((1 + 4)/2, (2 + 6)/2) = (5/2, 4).
2. Distancia AB: √((3)² + (4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
3. Alineación de A, B y C: (4 − 1)(10 − 2) − (7 − 1)(6 − 2) = 3·8 − 6·4 = 24 − 24 = 0. Están alineados.

D(4, 2) no lo está con A y B: (4 − 1)(2 − 2) − (4 − 1)(6 − 2) = 3·0 − 3·4 = −12, que no es 0.

Ejemplo 2 · Distancia del punto (0, 4) a la recta

La recta de A y B, en forma general: de y = (4/3)x + 2/3 se llega a 3y = 4x + 2, o sea 4x − 3y + 2 = 0. Comprueba A: 4·1 − 3·2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Y B: 4·4 − 3·6 + 2 = 16 − 18 + 2 = 0.

Distancia de (0, 4) a esa recta:

|4·0 − 3·4 + 2| / √(16 + 9) = |−12 + 2| / √25 = 10/5 = 2.

El pie de la perpendicular es (8/5, 14/5). Está en la recta: 4·(8/5) − 3·(14/5) + 2 = (32 − 42 + 10)/5 = 0/5 = 0. Y la distancia del punto al pie es √((8/5)² + (−6/5)²) = √(64/25 + 36/25) = √(100/25) = √4 = 2. Coincide.

Error típico

El punto medio de (1, 2) y (4, 6) no es (5, 8). Eso es la suma sin dividir entre 2. El medio es (5/2, 4).

En la distancia a la recta, dividir entre a + b = 4 + (−3) = 1, o entre 4 + 3 = 7, en vez de entre √(16 + 9) = 5. Con el 5 sale 2; con un 7 saldría 10/7, que no es la longitud del segmento perpendicular.

Figura

A, B y C alineados, el medio M(5/2, 4), y el segmento perpendicular desde (0, 4) hasta el pie, de longitud 2.

Por qué funciona

Resolución

Escribe el razonamiento completo. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página.

Cierre

Medio (5/2, 4), distancia 5, A-B-C alineados porque el determinante es 0, y distancia 2 del punto (0, 4) a la recta 4x − 3y + 2 = 0, confirmada en el pie.