Continuidad: el límite y el valor coinciden

Objetivos

• Decidir si una función es continua en un punto con las tres condiciones.
• Reconocer una función a trozos continua y otra con salto.
• Distinguir una discontinuidad evitable, de salto y asintótica, con cuentas.

Explicación

Tres condiciones

f es continua en x = a cuando se cumplen las tres cosas a la vez:

1. existe lim_x→a f(x), un número real;
2. existe f(a);
3. esos dos números coinciden.

Continua en a quiere decir que el límite y el valor no se contradicen. Si falta una de las tres, hay una discontinuidad en a.

A trozos, y continua

Sea f(x) = 2x si x < 1, y f(x) = x + 1 si x ≥ 1. En el empalme x = 1:

• por la izquierda, 2·1 = 2;
• por la derecha, 1 + 1 = 2;
• f(1) = 1 + 1 = 2.

El límite existe y vale 2, que es f(1). Es continua en x = 1, aunque cambie la fórmula.

Tres discontinuidades, calculadas

Evitable. g(x) = (x² − 1)/(x − 1) si x ≠ 1, y g(1) = 5. El límite cuando x tiende a 1 es 2, porque fuera del 1 la expresión es x + 1. Pero g(1) = 5 y 2 ≠ 5. El límite existe y es finito; el valor no coincide. Es evitable: bastaría cambiar el 5 por un 2.

De salto. h(x) = 1 si x < 2, y h(x) = 4 si x ≥ 2. Límite por la izquierda: 1. Por la derecha: 4. No existe un único límite, así que no es continua. h(2) = 4. El salto mide 4 − 1 = 3.

Asintótica. k(x) = 1/x, en x = 0. No existe k(0). Además k(0,1) = 10, k(0,01) = 100 y k(−0,1) = −10: por la derecha se va a +∞ y por la izquierda a −∞. No hay límite real. La recta x = 0 es una asíntota vertical.

Ejemplo 1 · x² es continua en 3

f(x) = x².

1. f(3) = 9.
2. Al acercarse x a 3, x² se acerca a 9 (es un polinomio).
3. 9 = 9. Las tres condiciones se cumplen.

f es continua en x = 3.

Ejemplo 2 · El 5 estorba

En la función g de la explicación, lim_x→1 g(x) = 2 y g(1) = 5.

1. El límite existe: 2.
2. El valor existe: 5.
3. 2 ≠ 5, así que no es continua en x = 1.

La diferencia es 5 − 2 = 3. Si se redefiniera g(1) = 2, las tres condiciones cuadrarían: por eso se llama evitable.

Error típico

En el salto, como h(2) = 4 existe, hay quien dice que h es continua en 2. No basta el valor: los laterales valen 1 y 4, y 1 ≠ 4, así que el límite no existe. Sin límite no hay continuidad.

Figura

A la izquierda, la función a trozos que se empalma en (1, 2). A la derecha, el salto en x = 2: círculo abierto a altura 1 y punto lleno a altura 4.

Por qué funciona

Resolución

Escribe el razonamiento completo. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página.

Cierre

Continua significa: límite real, valor, y los dos iguales. La función a trozos del empalme en 1 lo cumple. La del 5 es evitable, la del salto 1 contra 4 no tiene límite, y 1/x en 0 es asintótica.