El teorema del coseno cierra el caso en el que se conocen dos lados y el ángulo que forman, el SAS, y también sirve para hallar un ángulo cuando se conocen los tres lados. La forma que usa esta lección es c2 = a2 + b2 − 2ab cos C. El ángulo C tiene que ser el comprendido entre los lados a y b. El lado c es el opuesto, el que no toca a C en el otro extremo de los dos lados. Si se mete en la fórmula el ángulo que no está entre a y b, el resultado es otro triángulo.
El término −2ab cos C corrige a Pitágoras. Si C es agudo, el coseno es positivo y ese término se resta: el lado opuesto es más corto que en el rectángulo de catetos a y b. Si C es obtuso, el coseno es negativo y −2ab por un negativo se suma. Esta lección calcula un agudo de 60° y un recto de 90°, que ya se puede contrastar con otra herramienta.
cos 60° = 1/2 = 0,5, exacto. No es una aproximación de la calculadora. cos 90° = 0. Por eso, si C = 90°, la fórmula queda c2 = a2 + b2 − 2ab · 0 = a2 + b2. El teorema del coseno contiene a Pitágoras; no lo contradice.
Si se conocen los tres lados, cos C = (a2 + b2 − c2) / (2ab). En el ejemplo del ángulo recto se usa esta lectura al revés: si el numerador sale 0, el coseno es 0 y el ángulo es 90°, siempre que a y b no sean cero.
Resultado: c = √39. No se sustituye √39 por un decimal.
Resultado: c = 10. Con ángulo recto, el teorema del coseno es Pitágoras.
En el ejemplo de 60° se olvida el coseno y se resta 2 · 5 · 7 = 70. Entonces 74 − 70 = 4 y el lado saldría 2. Esa cuenta es la de un ángulo de 0°, no la de 60°, porque cos 0° = 1 y el término completo sería 70. Para 60° el factor es 0,5 y se restan 35. 74 − 35 = 39, no 4.
El otro descuido es escribir c2 = a2 + b2 + 2ab cos C con el signo más siempre. En el agudo el término se resta. El signo más aparecería, de hecho, al mover un coseno negativo de un obtuso, no por cambiar la fórmula a mano.
El lado de abajo mide 7 unidades de dibujo, el inclinado mide 5 y el ángulo entre ellos es 60°. El lado que cierra, enfrente del ángulo, es √39, más corto que 7 y más largo que 6, porque 36 < 39 < 49.
Escala 36 px por unidad. El lado 7 va de x = 70 a x = 322 (252 px). El lado 5, a 60°, avanza 2,5 unidades en horizontal (90 px) y sube (5√3)/2 unidades, redondeadas a 156 px: de y = 210 a y = 54. 156/90 = 1,733, el redondeo de √3 que deja el ángulo en 60°. El lado ámbar no se mide en píxeles: su cuadrado es 39.
En la vida real
Dos tramos medidos, 5 y 7 unidades, con un ángulo de 60° entre ellos, determinan el tramo que falta. No se suma 5 + 7 ni se aplica Pitágoras, porque el ángulo no es recto. El cuadrado de ese tramo es 39. Si el ángulo medido hubiera sido 90°, la misma fórmula, con coseno 0, habría dado el teorema de Pitágoras y un lado entero.
Ajusta a, b y el ángulo, 60° o 90°. La figura recalcula c2 con la fórmula. Deja a = 5, b = 7 y 60°: tiene que salir 39. Pasa a 90° con 6 y 8: tiene que salir 100. Escribe el desarrollo en la caja.
Clave local: bach1-mates-i-L12. No se envía a ningún sitio.
Respuesta: 25 + 49 − 35 = 39, y el lado es √39.
Por qué: 2 · 5 · 7 · 0,5 = 35, no 70. 74 − 35 = 39. 39 no es un cuadrado perfecto, así que el lado se deja como raíz.
Respuesta: 10.
Por qué: el coseno de 90° es 0, el término con el doble producto desaparece y queda 36 + 64 = 100. La raíz positiva de 100 es 10.
Respuesta: c2 = a2 + b2, el teorema de Pitágoras.
Por qué: cos 90° = 0, y restar 2ab · 0 no cambia la suma de cuadrados. El coseno no es un adorno opcional: cuando vale cero, la fórmula lo dice ella sola.
Escribe el desarrollo en este cuadro. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página. No se envía a ningún sitio.
Lienzo para el boceto.
Dos lados y el ángulo comprendido determinan el tercero por el coseno. Con 5, 7 y 60° el cuadrado es 39. Con 90° el coseno se anula y vuelve Pitágoras. El signo menos no se quita, y 0,5 no se sustituye por 1.
Toma a = 4 y b = 4, con ángulo comprendido 60°. Calcula c2 y simplifica la raíz si se puede. Comprueba que 2 · 4 · 4 · 0,5 es 16 y que no has restado 32.
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