Operar con complejos, en los casos sencillos del sentido numérico, se hace con la forma a + bi y con i2 = −1. No hay una tecla nueva: hay las mismas operaciones, con la regla de que i2 se sustituye por −1 en cuanto aparece.
Se juntan partes reales con partes reales e imaginarias con imaginarias. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. La resta cambia el signo de las dos componentes del segundo: (a − c) + (b − d)i. Es la misma idea que sumar vectores (a, b) y (c, d). El nombre cambia; la cuenta de las parejas, no.
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i + bd(−1) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Cada término sale de la propiedad distributiva. El único sitio donde entra i2 es el último, y por eso el producto de las partes imaginarias cambia de signo al pasar a la parte real.
Para dividir entre c + di, con c y d no ambos cero, se multiplica arriba y abajo por el conjugado c − di. El denominador queda (c + di)(c − di) = c2 − (di)2 = c2 − d2 i2 = c2 + d2, un real positivo. Después se divide cada componente del numerador entre ese real. No se divide «parte real entre parte real» dejando la i sin tocar: eso no es el cociente.
El ejemplo 2 divide (2 + 3i) entre (1 − i) y vuelve a multiplicar. Si el producto del cociente por el divisor no devuelve el dividendo, la división está mal aunque el aspecto sea binómico.
Resultados: suma 3 + 2i, resta 1 + 4i, producto 5 + i.
Resultado: −1/2 + (5/2)i. Aparte, (3 + 4i)(3 − 4i) = 9 − (4i)2 = 9 + 16 = 25, el cuadrado del módulo, para recordar que conjugados se multiplican en un real.
Se divide (2 + 3i) / (1 − i) haciendo 2/1 + (3/−1)i = 2 − 3i. Eso trata la expresión como si las partes no se mezclaran. El producto de comprobación falla: (2 − 3i)(1 − i) = 2 − 2i − 3i + 3i2 = 2 − 5i − 3 = −1 − 5i, que no es 2 + 3i.
La corrección es multiplicar por el conjugado. El denominador 1 + 1 = 2 es real, y el numerador −1 + 5i se reparte entre ese 2. La verificación del ejemplo 2 es la que manda, no el parecido con una división de fracciones término a término.
2 + 3i es el punto (2, 3). Sumar 1 − i desplaza una unidad a la derecha y una hacia abajo, hasta (3, 2), que es 3 + 2i. El producto y el cociente no se leen como esa misma traslación: por eso la figura solo ilustra la suma, que sí es vectorial.
Escala: 40 px por unidad. Desde el origen (120, 200), el 2 avanza 80 px y el 3 sube 120 px: se llega a (200, 80). El sumando (1, −1) avanza 40 y baja 40: (240, 120). La parte imaginaria del resultado es 2, y 200 − 80 = 120 de altura sobre el eje, que son 3 unidades solo en el primer vector; al bajar una, quedan 2. Cuadra con 3 + 2i.
En la vida real
Igual que al dividir enteros se multiplica para ver el resto, aquí el cociente se acepta cuando al multiplicarlo por el divisor reaparece el dividendo. −1/2 + (5/2)i no se memoriza: se fabrica con el conjugado y se contrasta. Esa comprobación cabe en un margen del cuaderno.
z = 2 + 3i está fijo. Mueve la parte real y la imaginaria de w. La figura dibuja z + w. En la caja, repite el cociente (2 + 3i)/(1 − i) hasta llegar a −1/2 + (5/2)i y la multiplicación de vuelta.
Clave local: bach1-mates-i-L08. No se envía a ningún sitio.
Respuesta: 4 − 3i.
Por qué: 1 + 3 = 4 y 2 + (−5) = −3. La suma no mezcla la parte real con la imaginaria.
Respuesta: 1 + 2i + i2 = 1 + 2i − 1 = 2i.
Por qué: el cuadrado de la suma tiene el doble producto 2i y el cuadrado de i, que es −1 y cancela al 1 real.
Respuesta: 3/2 − (1/2)i.
Por qué: se multiplica por 1 − i. Numerador: (2 + i)(1 − i) = 2 − 2i + i − i2 = 3 − i. Denominador: 1 + 1 = 2. Al multiplicar de vuelta, (3/2 − i/2)(1 + i) = 3/2 + 3i/2 − i/2 − i2/2 = 2 + i.
Escribe el desarrollo en este cuadro. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página. No se envía a ningún sitio.
Lienzo para el boceto.
Suma y resta, por partes. Producto, distributiva e i2 = −1. Cociente, conjugado en el denominador hasta dejar un real. Un cociente no está terminado hasta que la multiplicación inversa recupera el dato.
Divide 1 + i entre 1 − i. El denominador, tras el conjugado, vale 2. Escribe el resultado y multiplícalo por 1 − i para recuperar 1 + i. Si no lo recuperas, el error está en el numerador.
reto_id: bach1-mates-i-L08