Correlación: r y R² de los seis puntos

Objetivos

1. Calcular r y R² con los mismos seis puntos de la recta anterior.
2. Dejar r en su forma exacta y ver que cae dentro de [−1, 1].
3. No cambiar r por R² ni inventar un coeficiente que «quede bien».

Explicación

De las sumas de cuadrados al coeficiente

Con las mismas sumas de la lección de la recta,

r = S_xy / √(S_xx · S_yy)    R² = r² = S_xy² / (S_xx · S_yy)

S_yy = Σy² − (Σy)²/n. El signo de r es el de S_xy. R² está entre 0 y 1 y dice qué parte de la variación de y acompaña a la recta; no dice que x cause y.

R² no es un porcentaje de causa. Es la fracción de la variación de y que recoge la recta de mínimos cuadrados. Si todos los puntos caen en la recta, los residuos son 0, se cumple S_xy² = S_xx · S_yy y R² = 1. Si la nube no es una recta, R² baja aunque la pendiente sea positiva. El signo de r es solo el sentido: el de S_xy. Un r de 0,99 no se puede promover a 1, y un r de 1 no se puede bajar para que parezca prudente. Cada uno sale de sus sumas.

Con los seis puntos de la calibración, R² = 48/49 porque el residuo de (6, 8) no es cero. El ejemplo 3 cambia de nube a propósito: tres puntos en línea recta, para ver el 1 exacto, y la misma recta recorrida al revés, para ver el −1. Así se separa «muy alto» de «exactamente 1», que es lo que estos seis puntos no dan.

Ejemplo 1 · r exacto de los seis puntos

Puntos: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 8). Ya teníamos S_xx = 35/2 y S_xy = 20.

1. Σy² = 4+9+16+25+36+64 = 154.
2. (Σy)²/n = 784/6 = 392/3.
3. S_yy = 154 − 392/3 = 462/3 − 392/3 = 70/3.
4. S_xx · S_yy = (35/2)·(70/3) = 1225/3.
5. √(1225/3) = 35/√3.
6. r = 20 / (35/√3) = 20√3 / 35 = 4√3 / 7.

Numerador positivo, así que r es positivo. 4√3 / 7 ≈ 0,9897. Como √3 < 7/4 = 1,75 (porque 1,75² = 3,0625 > 3), se cumple r < 1. Y r > 0. Luego r ∈ (−1, 1), de hecho en (0, 1).

Ejemplo 2 · R² sin redondear a 1

R² = 20² / (1225/3) = 400 · 3 / 1225 = 1200/1225 = 48/49.

48/49 ≈ 0,9796. No es 1: el punto (6, 8) no cae en la recta (el residuo era 10/21). Comprobación cruzada: r² = (4√3 / 7)² = 16·3 / 49 = 48/49. Las dos vías dan la misma fracción.

Leer R² ≈ 0,98 como «casi todo encaja con la recta» es razonable. Leerlo como «el patrón causa la lectura» o como «r = 1» no lo es.

Ejemplo 3 · Tres puntos alineados: r = 1 y r = −1

Nube distinta de la calibración, declarada para esta cuenta: (1, 1), (2, 3), (3, 5). Están en la recta y = 2x − 1. No se usa el 4√3/7 de los seis puntos: ese coeficiente ya está calculado y no se reescribe.

1. Paso 1. n = 3, Σx = 6, Σy = 1+3+5 = 9, Σx² = 1+4+9 = 14, Σy² = 1+9+25 = 35, Σxy = 1+6+15 = 22. S_xx = 14 − 36/3 = 14 − 12 = 2. S_yy = 35 − 81/3 = 35 − 27 = 8. S_xy = 22 − 54/3 = 22 − 18 = 4.
2. Paso 2. r = 4 / √(2 · 8) = 4 / √16 = 4/4 = 1. R² = 1² = 1. También R² = 16 / (2 · 8) = 16/16 = 1. Las dos vías coinciden, y esta vez sí es 1, porque no hay residuo: 2·1 − 1 = 1, 2·2 − 1 = 3, 2·3 − 1 = 5.
3. Paso 3. Se invierten las y: (1, 5), (2, 3), (3, 1). Σy y Σy² no cambian, así que S_yy sigue en 8 y S_xx en 2. Σxy = 5+6+3 = 14 y S_xy = 14 − 18 = −4. r = −4/4 = −1. R² = (−1)² = 1. El signo da la vuelta; el ajuste perfecto no.

Comparación, sin mezclar las nubes: en los seis puntos de la lección, R² = 48/49, menor que 1, y r = 4√3/7, que no es 1. En estos tres, R² = 1. Llamar 1 al 48/49 sería inventar el coeficiente que la cuenta no da. Llamar 0,99 a este r = 1 también: aquí la raíz de 16 es 4 exacto, no una aproximación.

Comprobación cruzada · por qué 48/49 no llega a 1

R² = 20² / (1225/3) = 1200/1225 = 48/49, y (4√3/7)² = 48/49. Las dos vías ya estaban. Lo que añade el residuo conocido del punto (6, 8), que es 10/21, es la razón por la que ese valor no es 1: si R² fuera 1, todos los residuos serían 0 y 10/21 no podría salir. 48/49 = 1 − 1/49. Ese 1/49 es la parte que la recta no recoge. No se lista aquí el resto de residuos de los seis puntos: el de x = 3 es el reto de la lección anterior y no se adelanta.

En el ejemplo 3, con tres puntos en recta, el mismo criterio da R² = 1 porque allí los residuos son 0. No es un redondeo del 48/49. 48 es menor que 49, luego 48/49 es menor que 1, y 4√3/7 es menor que 1. Un coeficiente 1,2 no cabe entre medias.

Las sumas de los seis puntos, reunidas en una sola tabla para no fiarse de un total recordado:

Corrección de la fila de sumas: 21 es Σx y 28 es Σy. No se lee 28 como suma de las x. 1+2+3+4+5+6 = 21 y 2+3+4+5+6+8 = 28. A partir de aquí la lección ya no inventa: S_xy = 118 − 21·28/6 = 118 − 98 = 20, S_xx = 91 − 441/6 = 35/2, S_yy = 154 − 784/6 = 154 − 392/3 = 70/3. El r = 4√3/7 y el R² = 48/49 salen de estas tres sumas y de los residuos, no de un coeficiente elegido para que quede cerca de 1.

Una cota para el decimal, sin cambiar la fracción

4√3/7 no se sustituye por un decimal. Se puede acotar. 1,732² = 2,999824, que es menor que 3, luego √3 > 1,732 y 4√3/7 > 4·1,732/7 = 6,928/7 = 0,989714…. 1,733² = 3,003289, mayor que 3, luego √3 < 1,733 y 4√3/7 < 6,932/7 = 0,990285…. El valor cae entre 0,9897 y 0,9903. Por eso la lección escribe ≈ 0,9897 y no 0,99 cerrado, y desde luego no 1. La fracción 4√3/7 sigue siendo el resultado; el intervalo solo impide leer de más.

Las columnas, sumadas por tramos para no fiarse del total de un vistazo: xy vale 2+6+12 = 20, +20 = 40, +30 = 70, +48 = 118. x² vale 1+4+9 = 14, +16 = 30, +25 = 55, +36 = 91. y² vale 4+9+16 = 29, +25 = 54, +36 = 90, +64 = 154. Y las x, que no están en la fila de y: 21. Con esos cuatro totales salen S_xy = 20, S_xx = 35/2 y S_yy = 70/3, y de ahí r y R². Si un tramo no cuadra, el coeficiente de la lección no se sostiene.

Error típico

Olvidar la raíz y hacer 20 / (S_xx · S_yy) = 20 / (1225/3) = 60/1225 = 12/245 ≈ 0,049. Eso no es r. O llamar r al 48/49, que es R². O inventar r = 1,2: es imposible, porque R² = 48/49 < 1 obliga a |r| = √(48/49) < 1.

Tu desarrollo

Escribe aquí los pasos, con unidades o fracciones. Puedes borrar el rótulo y usar el hueco como papel.

Comprueba

// Uno o Nano. Cada lectura nueva sería otra fila, no un permiso para inventar r.
const int pin = A0;
void setup() { Serial.begin(9600); }
void loop() {
  int lectura = analogRead(pin);
  Serial.println(lectura);
  delay(1000);
}

Cierre

Con estos puntos, r = 4√3 / 7 ≈ 0,9897 y R² = 48/49 ≈ 0,9796. r está en (−1, 1). R² no es r, y ninguno de los dos demuestra una causa.