Familias de funciones: propiedades y comparación

Objetivos

1. Comparar un representante de cada familia: polinómica, exponencial, racional, irracional, logarítmica, trigonométrica y a trozos.
2. Leer en la gráfica el dominio, el crecimiento y un corte o una asíntota.
3. No recalcular aquí todas las derivadas: el crecimiento se lee en el dibujo.

Explicación

Cada familia se mira en un representante. Los crecimientos se leen en la gráfica. La derivada, si ya se usó para justificar el crecimiento, no se repite en todas.

Siete representantes

• Polinómica: f(x) = x². Dominio ℝ. Corta en (0, 0). Decrece al acercarse a 0 por la izquierda y crece al alejarse por la derecha. No tiene asíntota: se va a +∞ cuando |x| crece.
• Exponencial: g(x) = 2^x. Dominio ℝ. Corta el eje vertical en (0, 1), porque 2⁰ = 1. Siempre crece. Al ir x hacia −∞ la gráfica se pega al eje horizontal: asíntota y = 0. No lo cruza, porque 2^x > 0.
• Racional sencilla: h(x) = 1/x. Dominio ℝ sin el 0. Asíntota vertical x = 0 y horizontal y = 0. En cada rama, al aumentar x la gráfica baja (de valores grandes positivos hacia 0 por la derecha; de cerca de 0 negativo hacia −∞ por la izquierda al acercarse a 0).
• Irracional sencilla: k(x) = √x. Dominio [0, ∞), porque el radicando no puede ser negativo. Sale de (0, 0) y crece: √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3. No hay asíntota vertical.
• Logarítmica: m(x) = log₂ x. Dominio (0, ∞). Asíntota vertical x = 0. Corta el eje horizontal en (1, 0), porque log₂(1) = 0. Crece: log₂(2) = 1, log₂(4) = 2, log₂(8) = 3.
• Trigonométrica: n(x) = sen x. Dominio ℝ. Oscila entre −1 y 1, así que no es creciente en todo el dominio. Corta el eje horizontal en 0, en π y en 2π, dentro de una vuelta. No tiene asíntota: no se pega a ninguna recta.
• A trozos: p(x) = −1 si x < 0, y p(x) = x si x ≥ 0. Dominio ℝ. En x = 0 el valor es 0, pero por la izquierda los valores son −1: hay un salto. No es una polinómica, aunque cada trozo lo parezca.

Glosas de esta lección

Dominio Valores de x donde la fórmula está definida.

Asíntota Recta a la que la gráfica se acerca sin que eso sea, por sí solo, un corte. 1/x no corta y = 0.

ℝ Todos los reales. ℝ \ {0} es todos menos el cero.

A trozos Fórmulas distintas en partes distintas del dominio.

Ejemplo 1 · Dominio de una raíz y de una racional

Comparar √(x − 2) y 1/(x − 2). Números de la fórmula, no de una tabla estadística.

1. √(x − 2) exige x − 2 ≥ 0, luego x ≥ 2. En x = 2 vale √0 = 0: el extremo entra.
2. 1/(x − 2) exige x − 2 ≠ 0, luego x ≠ 2. En x = 2 no hay valor.
3. En x = 6 las dos existen: √(6 − 2) = √4 = 2 y 1/(6 − 2) = 1/4. En x = 1 la raíz no existe, porque 1 − 2 = −1 < 0; la racional sí: 1/(−1) = −1. El dominio no se copia de una familia a la otra.

Ejemplo 2 · Leer 2^x y log₂ x

1. 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8. Sube, y las diferencias 1, 2 y 4 no son constantes: no es una recta.
2. log₂(1) = 0, log₂(2) = 1, log₂(4) = 2, log₂(8) = 3. También sube, más despacio, y solo a la derecha de 0.
3. 2^x se acerca a y = 0 por la izquierda y no la toca. log₂ x se acerca a la recta x = 0 por la derecha y no la toca: ahí el argumento se acerca a 0 sin llegar.

Error típico

Práctica

La figura compara dos familias a la vez. Cambia de pareja y escribe dominio, un corte y una asíntota si la hay.

Comprueba

Cierre

Cada familia se reconoce por el dominio, por si crece o no en el tramo que miras, y por cortes o asíntotas. x² y 1/x no se comportan igual en el 0; 2^x y log₂ x se leen como pareja inversa, cada una con su asíntota.