Un producto o un cociente solo cambia de signo al cruzar un valor que anula un factor. Esos valores parten la recta en intervalos. En cada intervalo se prueba un número y el signo vale para todo el intervalo.
En una inecuación estricta (> o <) los ceros no entran. Si es ≥ o ≤, el cero del numerador entra. El cero del denominador no entra nunca: ahí la expresión no existe.
x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). La parábola abre hacia arriba (el coeficiente de x2 es 1 > 0), así que es positiva fuera de las raíces y negativa entre ellas. La tabla lo confirma sin darlo por supuesto.
(x − 1)/(x − 4). Puntos críticos: x = 1 (se hace cero) y x = 4 (no existe). Son tres intervalos, no dos.
(a, b) Intervalo abierto: no incluye los extremos. [a, b] los incluye.
∪ Unión: la solución puede ser dos trozos de la recta.
∞ La recta no termina. (−∞, 2) son todos los reales menores que 2.
Signo Positivo o negativo de la expresión en un intervalo, leído en un punto de prueba.
x2 − 5x + 6 > 0.
| Intervalo | (−∞, 2) | (2, 3) | (3, ∞) |
|---|---|---|---|
| Punto de prueba | 0 | 5/2 | 4 |
| x − 2 | − | + | + |
| x − 3 | − | − | + |
| Producto | + | − | + |
(x − 1)/(x − 4) ≥ 0, con x ≠ 4.
| Intervalo | (−∞, 1) | (1, 4) | (4, ∞) |
|---|---|---|---|
| Punto de prueba | 0 | 2 | 5 |
| x − 1 | − | + | + |
| x − 4 | − | − | + |
| Cociente | + | − | + |
Quedarse con el intervalo de en medio (2, 3) porque «está entre las raíces», o incluir x = 4 en la racional.
Corrección: el producto (x − 2)(x − 3) es negativo entre 2 y 3, y la inecuación pide positivo: la solución es el complementario, sin los extremos. En la racional, x = 4 anula el denominador; aunque el signo «cambie» al cruzarlo, ese punto no es un número de la solución. x = 1 sí, porque el numerador es cero y la desigualdad admite el cero.
La recta de arriba es la polinómica; la de abajo, la racional. Mueve el punto de prueba y lee el signo. Escribe los dos intervalos.
Por qué: el polinomio vale 6, −1/4 y 2. Positivo, negativo, positivo: la solución queda fuera de [2, 3].
Por qué: el cociente es 0 y la desigualdad es ≥ 0. Entra el 1. El 4 no entra porque el denominador sería 0.
Por qué: (2 − 1)/(2 − 4) = 1/(−2) < 0. Está entre 1 y 4, que es el trozo que la tabla marca negativo y queda fuera.
Se parten los intervalos en los ceros y en los denominadores, se lee el signo en un punto y se escribe la unión. El dibujo de la recta tiene el círculo abierto donde el punto no entra y cerrado donde sí.
Resuelve x2 − 5x + 6 ≤ 0 con la misma factorización. Di qué pasa con los extremos 2 y 3, y comprueba x = 5/2.
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