Un patrón en una situación sencilla es una lista cuyos primeros términos se ven, y se busca una regla que valga para el lugar n (n = 1, 2, 3, …). Esa regla es el término general. No basta con adivinar el siguiente número: hay que comprobar varios términos y decir la fórmula.
Si la primera diferencia es constante, el término general es de primer grado: an = dn + b. Aquí la diferencia constante es 3 y el primer término, para n = 1, es 5. Entonces an = 3n + 2, porque 3·1 + 2 = 5.
Los cuadrados 1, 4, 9, 16, 25 tienen término general bn = n2. Las primeras diferencias son 3, 5, 7, 9: crecen, no son constantes. Por eso «sumar siempre lo mismo» no sirve. Las segundas diferencias son 2, 2, 2, y eso encaja con un término que lleva n2.
an Término que ocupa el lugar n. n empieza en 1.
n2 n al cuadrado: n·n. No es 2n.
Primera diferencia an+1 − an. Si no cambia, el patrón es lineal.
Segunda diferencia Diferencia de las primeras diferencias. Constante y no nula avisa de un término con n2.
Situación sencilla, números fijados: el día n se anotan 3n + 2 marcas. Los primeros términos deberían ser 5, 8, 11, 14, 17.
Una cuadrícula de n por n casillas tiene 1, 4, 9, 16, 25 casillas. El término general propuesto es bn = n2.
Ver 1, 4, 9 y decir «voy sumando 3, luego 5, luego 7…» como si eso ya fuera el término general, o forzar an = 3n − 2 para toda la lista.
Corrección: la regla verbal «suma 2 más que la vez anterior» no dice cuánto vale el término 100. n2 sí: el término 100 es 10 000. Y 3·3 − 2 = 7 no es 9, así que esa fórmula lineal no es el patrón.
El control n enseña las dos listas a la vez. Escribe el término general de cada una y comprueba n = 4 a mano.
Un bucle corto imprime las dos sucesiones de la lección (números del modelo, no una medición). La primera columna suma 3 cada vez; la segunda es n·n.
void setup() { Serial.begin(9600); }
void loop() {
for (int n = 1; n <= 5; n++) {
Serial.print(3 * n + 2);
Serial.print(" ");
Serial.println(n * n);
}
delay(2000);
}
En una Raspberry Pi el mismo bucle es for n in range(1, 6): print(3*n+2, n*n). La salida tiene que ser 5 1, 8 4, 11 9, 14 16, 17 25.
Por qué: 3·4 + 2 = 12 + 2 = 14, y 14 − 11 = 3, la misma diferencia de siempre. En este patrón lineal el término general sí se puede leer como «el anterior más la diferencia», porque la primera diferencia es constante. Cuando el patrón es n² eso deja de valer: la diferencia primera no es constante (3, 5, 7, 9) y la segunda sí, siempre 2. Por eso el término general de los cuadrados es n², no «el anterior más 3». Una diferencia que cambia no es una regla para el lugar n.
Por qué: 4·4 = 16. La diferencia con 9 es 7, no 3: no se suma siempre lo mismo. El término general no es «el anterior más la diferencia» cuando el patrón es n², porque la diferencia primera no es constante; la segunda sí, y vale 2. Esa segunda diferencia constante avisa de un término con n². Sumar siempre la primera diferencia del principio no reproduce 16 ni los cuadrados siguientes: el salto crece, y n² es la regla que sí se puede comprobar en el lugar n.
Por qué: en n = 1 y n = 2 da 1 y 4, pero en n = 3 da 7 y el cuadrado es 9. Un patrón que falla en el tercer término no es el término general.
Generalizar es escribir an y comprobarlo. Diferencia constante: patrón lineal. Diferencias que crecen de dos en dos, como en n2: patrón cuadrático. No todo se arregla sumando siempre lo mismo.
Calcula a10 = 3·10 + 2 y b10 = 102. Di cuánto habrías fallado si, desde b1 = 1, hubieras sumado siempre 3 hasta el lugar 10 (eso daría 1 + 9·3).
reto_id: bach1-mates-i-L27
Escribe el desarrollo en este cuadro. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página. No se envía a ningún sitio.
Lienzo para el boceto.