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1º Bachillerato Matemáticas I · Ciencias y Tecnología

Lección 17 · Matemáticas I

La derivada en un punto es un límite

Saber del curso (Decreto 40/2022, BOCyL): derivada de una función, definición a partir del cambio e interpretación geométrica.

Objetivos

Explicación

El cambio medio

Si x pasa de a a a + h, con h ≠ 0, el cambio de la función partido por el cambio de x es

(f(a + h) − f(a)) / h.

Ese cociente es la pendiente de la recta secante que une (a, f(a)) con (a + h, f(a + h)).

La derivada

La derivada en a es el límite de esas pendientes cuando h tiende a 0:

f′(a) = limh→0 (f(a + h) − f(a)) / h.

f′(a) se lee «efe prima de a». Es un número: la pendiente de la tangente. No es la ecuación de la recta; la recta se escribe después, con el punto y esa pendiente.

Lectura geométrica

Si la derivada vale m y el punto de tangencia es (a, f(a)), la tangente es

y − f(a) = m (x − a).

Ejemplo 1 · f(x) = x2 en x = 3

  1. f(3) = 9 y f(3 + h) = (3 + h)2 = 9 + 6h + h2.
  2. Resta: (9 + 6h + h2) − 9 = 6h + h2.
  3. Cociente, con h ≠ 0: (6h + h2) / h = 6 + h.
  4. Límite cuando h tiende a 0: 6 + h tiende a 6.

Así f′(3) = 6. La tangente pasa por (3, 9) con pendiente 6:

y − 9 = 6(x − 3).

Comprobación en x = 4: y − 9 = 6·1 = 6, luego y = 15. La curva en x = 4 vale 16, distinta: la tangente toca, no se queda pegada a la parábola.

Ejemplo 2 · El cociente se acerca a 6

Sin álgebra, con tres incrementos:

6,1 y 5,9 y 6,01 se acercan a 6, el mismo número que el límite 6 + h.

Error típico

Parar en 6h + h2 y no dividir entre h. Ese polinomio tiende a 0, y se concluiría mal que la derivada es 0. Después de dividir queda 6 + h, que tiende a 6.

Otro fallo: escribir la tangente como y − 3 = 6(x − 9), cambiando las coordenadas. El punto es (3, 9), así que se resta 9 a y y 3 a x.

Figura

Parábola y = x2 y la tangente en (3, 9). La secante de un h pequeño va casi encima de la tangente.

Parábola y tangente en x igual a 3 La tangente pasa por (3, 9) con pendiente 6. La parábola vale 9 en ese punto y 16 en x igual a 4. (3, 9) pendiente 6 y = x²
Práctica · el cociente 6 + h

Cambia h, distinto de 0. Verás el cociente y la secante. Cuando h se acerca a 0, la pendiente se acerca a 6 y la recta a la tangente y − 9 = 6(x − 3).

(9 + 6h + h² − 9)/h = 6 + h. Si h tiende a 0, la derivada es 6. Tangente: y − 9 = 6(x − 3).

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Por qué funciona

Por qué: el cociente se simplifica a 6 + h

(3 + h)2 − 9 = 9 + 6h + h2 − 9 = h(6 + h). Al dividir entre h, que no es 0, queda 6 + h. El límite borra la h y deja 6.

Por qué: la tangente usa el 9 y el 3 en su sitio

La pendiente es el 6. El punto de contacto es el de la curva: x = 3, y = 9. La fórmula punto-pendiente resta cada coordenada de la del punto, no las intercambia.

Por qué: 6,1 y 5,9 no son la derivada, pero la anuncian

Con h = 0,1 el cociente es 6 + 0,1 = 6,1. Con h = −0,1 es 5,9. Son pendientes de secantes. La derivada es el límite, 6, no uno de esos dos valores sueltos.

Resolución

Escribe el razonamiento completo. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página.

Cierre

En f(x) = x2, el cociente en x = 3 es 6 + h y el límite es 6. La tangente es y − 9 = 6(x − 3). En x = 4 esa recta vale 15 y la curva vale 16.

Reto

La misma cuenta con h = −0,2

Calcula (f(3 − 0,2) − 9) / (−0,2) para f(x) = x2. Comprueba que coincide con 6 + h.

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