Límites a partir de una tabla, una gráfica y una expresión

Objetivos

• Estimar un límite con una tabla de valores cercanos.
• Leer el mismo límite en una gráfica.
• Calcular lim_x→1 (x² − 1)/(x − 1) y obtener 2.

Explicación

Qué se mira

El límite de f cuando x tiende a a es el valor al que se acercan los resultados f(x) cuando x se acerca a a, sin exigir que x llegue a valer a. Se escribe lim_x→a f(x).

lim es «límite». La flecha x→a se lee «x tiende a a»: x se acerca, no tiene por qué sustituirse.

Tres vías

Se puede estimar con una tabla (números cada vez más próximos), con una gráfica (hacia qué altura va el punto) o con el álgebra (simplificar la expresión donde esté definida).

Una frase sobre 1/x

Cuando x tiende a 0 por la derecha, 1/x se hace mayor que cualquier número fijo: tiende a +∞.

+∞ no es un número real al que se llegue. Aquí solo nombra que 1/x crece sin tope al acercarnos a 0 por valores positivos.

Ejemplo 1 · Tabla y álgebra de (x² − 1)/(x − 1)

La expresión no se puede sustituir en x = 1: el numerador 1 − 1 = 0 y el denominador también es 0. Para x ≠ 1 se factoriza x² − 1 = (x − 1)(x + 1), y el cociente vale x + 1.

Cada valor es x + 1: 0,9 + 1 = 1,9; 0,99 + 1 = 1,99; 1,001 + 1 = 2,001; 1,1 + 1 = 2,1. Al tender x a 1, x + 1 tiende a 2. Por eso

lim_x→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2.

Ejemplo 2 · Un límite que sí se puede sustituir

lim_x→2 (3x + 1). La expresión 3x + 1 no se rompe en x = 2.

1. En el punto: 3·2 + 1 = 7.
2. Por la izquierda, x = 1,9: 3·1,9 + 1 = 5,7 + 1 = 6,7.
3. Por la derecha, x = 2,1: 3·2,1 + 1 = 6,3 + 1 = 7,3.

Los valores se acercan a 7, que es el resultado de sustituir. El límite es 7.

Error típico

Sustituir x = 1 en (x² − 1)/(x − 1) y decir que 0/0 es 0, o que es 1. Cero entre cero no es un número: la expresión no está definida en x = 1. El límite no pide el valor en el punto; pide a qué se acerca, y aquí se acerca a 2.

Figura

La gráfica de y = x + 1, con un hueco en (1, 2): ahí la expresión original no está definida, pero el punto hueco está a altura 2.

Por qué funciona

Resolución

Escribe el razonamiento completo. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página.

Cierre

Tabla, gráfica y álgebra cuentan la misma historia: (x² − 1)/(x − 1) se acerca a 2 cuando x se acerca a 1. Y, en una frase, 1/x tiende a +∞ cuando x tiende a 0 por la derecha.