En el sentido de la medida, la trigonometría empieza por la relación entre las razones. Esta lección no resuelve todavía un triángulo oblicuángulo: fija seno, coseno y tangente, la identidad pitagórica y los ángulos notables. En el texto se escribe sen, cos y tg. En muchas calculadoras la tecla del seno pone sin: es la misma razón. La identidad sen2 α + cos2 α = 1 es la que también se escribe sin2 α + cos2 α = 1.
Sea α un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. El cateto opuesto a α, el cateto adyacente a α y la hipotenusa determinan las tres razones: sen α = opuesto / hipotenusa, cos α = adyacente / hipotenusa y tg α = opuesto / adyacente. La tangente también es el cociente sen α / cos α, siempre que el coseno no sea cero. En un rectángulo el ángulo recto no es α: α está en un vértice agudo, y la hipotenusa es el lado de enfrente del recto, el más largo.
Si la hipotenusa mide 1, el cateto opuesto es sen α y el adyacente es cos α. Pitágoras dice entonces sen2 α + cos2 α = 1. Si la hipotenusa no es 1, se divide el teorema entre el cuadrado de la hipotenusa y sale la misma igualdad. No es una ecuación que haya que «creer»: sale de opuesto2 + adyacente2 = hipotenusa2.
| α | sen α | cos α | tg α |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3 / 2 | √3 / 3 |
| 45° | √2 / 2 | √2 / 2 | 1 |
| 60° | √3 / 2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | no definida |
De dónde sale el 30° y el 60°. En un triángulo equilátero de lado 2, la altura parte el lado en 1 y 1 y forma un rectángulo de hipotenusa 2 y cateto corto 1. La altura mide √(22 − 12) = √3. El ángulo de 30° tiene opuesto 1: sen 30° = 1/2, cos 30° = √3 / 2, tg 30° = 1/√3 = √3 / 3. El de 60° intercambia opuesto y adyacente. El de 45° es un rectángulo isósceles: los catetos iguales, por ejemplo 1 y 1, hipotenusa √2, así sen 45° = cos 45° = 1/√2 = √2 / 2 y tg 45° = 1. A 90° el adyacente se hace 0: el coseno es 0 y la tangente, un cociente con denominador 0, no se define. A 0° el opuesto es 0: seno y tangente son 0 y el coseno es 1.
Comprueba la identidad en 30°: (1/2)2 + (√3 / 2)2 = 1/4 + 3/4 = 1. En 45°: (√2 / 2)2 dos veces es 2/4 + 2/4 = 1. En 60°: 3/4 + 1/4 = 1.
Resultados: 3/5, 4/5 y 3/4. No hace falta el grado del ángulo para estas tres razones.
Resultados: sen α = 4/5 y tg α = 4/3.
Se reparte el seno sobre una suma: sen(30° + 60°) = sen 30° + sen 60°. El lado izquierdo es sen 90° = 1. El derecho es 1/2 + √3 / 2, que no es 1, porque √3 / 2 no es 1/2.
El seno de una suma tiene otra fórmula, que no es esta lección. Aquí basta el contraejemplo numérico. Otro error de tabla: escribir tg 90° = 1 o «un número muy grande». A 90° el coseno es 0 y la tangente no está definida.
Lados exactos 1, √3 y 2. En el trazo, la altura mide 100 px y la base 173 px: 173/100 = 1,73, redondeo de √3 para que el ángulo pequeño se vea de 30°. Las razones del texto no salen de medir píxeles.
En la vida real
Si una rampa recta mide 5 m de largo y salva 3 m de altura, el seno del ángulo con el suelo es 3/5 y el coseno, si la base mide 4 m, es 4/5. No hace falta un grado decimal para comparar dos rampas: basta la razón exacta. Inventar un decimal de la calculadora es peor que dejar 3/5, porque 3/5 ya es el dato.
Elige 30°, 45° o 60°. La figura cambia el triángulo y escribe las tres razones exactas. En la caja, desarrolla (1/2)2 + (√3 / 2)2 y la identidad del 3-4-5.
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Respuesta: 1/2, √3 / 2 y √3 / 3.
Por qué: en el rectángulo de catetos 1 y √3 e hipotenusa 2, el ángulo de 30° tiene opuesto 1. 1/√3 se racionaliza multiplicando por √3 y queda √3 / 3.
Respuesta: 9/25 + 16/25 = 1.
Por qué: sen = 3/5 y cos = 4/5, y 9 + 16 = 25, que es el cuadrado de la hipotenusa partido del mismo 25.
Respuesta: 2/4 + 2/4 = 1.
Por qué: las dos razones valen √2 / 2 y cada cuadrado es 2/4. La identidad no depende de que el ángulo sea 30°.
Escribe el desarrollo en este cuadro. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página. No se envía a ningún sitio.
Lienzo para el boceto.
Opuesto, adyacente e hipotenusa definen las tres razones. La identidad sale de Pitágoras. Los notables se dejan en raíces exactas. El seno de una suma no es la suma de senos, y la tangente de 90° no existe.
Llama β al ángulo opuesto al cateto 4. Escribe sen β, cos β y tg β, y comprueba que sen2 β + cos2 β = 1. Explica en una frase por qué β no es 30° aunque el seno de 30° también sea una fracción de denominador pequeño.
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