El sentido numérico presenta los complejos como soluciones de ecuaciones polinómicas que no tienen raíces reales. El caso mínimo es x2 + 1 = 0. No hace falta más maquinaria: con la forma binómica, el conjugado y el módulo ya se puede comprobar una raíz sustituyendo.
x2 + 1 = 0 equivale a x2 = −1. Ningún real tiene cuadrado negativo, porque el cuadrado de un positivo es positivo, el de un negativo también, y el de cero es cero. Se llama i a un número cuyo cuadrado es −1: i2 = −1. Entonces (i)2 + 1 = 0 y también (−i)2 + 1 = 0, porque (−i)2 = i2 = −1. Las dos soluciones son i y −i.
Factorización: (x − i)(x + i) = x2 − (i)2 = x2 − (−1) = x2 + 1. El polinomio que no tenía raíces reales se abre en cuanto se admite i.
Todo complejo de esta lección se escribe a + bi, con a y b reales. a es la parte real y b la parte imaginaria. Ojo: la parte imaginaria es el real b, no el producto bi. Así 3 + 4i tiene parte real 3 y parte imaginaria 4. Un real es un complejo con b = 0. Un imaginario puro tiene a = 0, como 2i o −i.
El conjugado de z = a + bi es z̄ = a − bi. Solo cambia el signo de la parte imaginaria. El módulo es |z| = √(a2 + b2), la distancia al origen en el plano donde el eje horizontal es la parte real y el vertical la imaginaria. Ejemplo de cierre perfecto: |3 + 4i| = √(9 + 16) = √25 = 5. El conjugado 3 − 4i tiene el mismo módulo, porque (−4)2 = 16.
x2 + 2x + 2 = 0. El discriminante es 4 − 8 = −4, negativo: no hay raíces reales. La fórmula da x = (−2 ± √(−4)) / 2. Como √(−4) = √(4 · −1) = 2i en este contexto, x = (−2 ± 2i) / 2 = −1 ± i. Sustitución de −1 + i: (−1 + i)2 + 2(−1 + i) + 2 = (1 − 2i + i2) + (−2 + 2i) + 2 = (1 − 2i − 1 − 2 + 2i + 2). Los reales: 1 − 1 − 2 + 2 = 0. Los imaginarios: −2i + 2i = 0. Cuadra. La otra raíz, −1 − i, es su conjugada y también anula el polinomio, porque los coeficientes son reales.
Resultados: raíces ±i, conjugado 3 − 4i, módulo 5.
Resultado: −1 + i y −1 − i. El módulo de cada una es √(1 + 1) = √2.
Se calcula |3 + 4i| como 3 + 4 = 7. El módulo no suma los valores absolutos de las partes. Suma sus cuadrados y luego hace la raíz: √(9 + 16) = 5. El 7 no es la distancia al origen; es la suma de los catetos, que es más larga que la hipotenusa.
Otro error: decir que x2 + 1 = 0 «no tiene solución». No tiene solución real. En complejos tiene dos, i y −i, y las dos se comprueban al sustituir.
Eje horizontal, parte real; eje vertical, parte imaginaria. Origen en (160, 150) y 30 px por unidad: 3 + 4i cae en (250, 30) porque 160 + 90 = 250 y 150 − 120 = 30. El conjugado cae en (250, 270). El triángulo 3-4-5 da el módulo: 9 + 16 = 25.
En la vida real
En un problema de bachillerato, «no tiene solución» solo es válido si se dice en qué conjunto. x2 + 1 = 0 no corta el eje real y sí tiene dos raíces en el plano complejo. Decir el conjunto forma parte de la respuesta, igual que decir las unidades en un resultado de medida.
Mueve a y b enteros. La figura coloca a + bi, su conjugado y escribe a2 + b2, que es el cuadrado del módulo. Deja a = 3 y b = 4 y comprueba que sale 25. En la caja, sustituye −1 + i en x2 + 2x + 2.
Clave local: bach1-mates-i-L07. No se envía a ningún sitio.
Respuesta: i y −i.
Por qué: las dos tienen cuadrado −1, así que al sumar 1 se obtiene 0. En los reales no hay ninguna.
Respuesta: √(9 + 16) = 5.
Por qué: el signo de la parte imaginaria desaparece al elevar al cuadrado. Es el mismo módulo que el de 3 + 4i.
Respuesta: el conjugado es 1 − i y el producto es 2.
Por qué: (1 + i)(1 − i) = 1 − (i)2 = 1 − (−1) = 2, que es 12 + 12, el cuadrado del módulo.
Escribe el desarrollo en este cuadro. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página. No se envía a ningún sitio.
Lienzo para el boceto.
i es una raíz de x2 + 1. La forma binómica separa parte real e imaginaria. El conjugado cambia el signo de b. El módulo es la raíz de la suma de cuadrados, no la suma de los valores absolutos.
Resuelve x2 + 4 = 0 y sustituye las dos soluciones para comprobar que devuelven cero. Escribe también el módulo de cada solución. No uses decimales.
reto_id: bach1-mates-i-L07