El conjunto de los vectores del plano, con la suma y con el producto por un número real, tiene una estructura estable: el resultado de esas operaciones vuelve a ser un vector del plano. Esta lección mira esa estructura. No hay matrices ni determinantes. La dependencia se decide con una ecuación de componentes.
Si k es un real y u = (u1, u2), entonces k u = (k u1, k u2). Se estiran o se encogen las dos componentes con el mismo factor. Si k > 0, el sentido se mantiene. Si k < 0, el sentido se invierte. Si k = 0, el resultado es el vector cero. Propiedades que se comprueban componente a componente: 1 · u = u, (k + m) u = k u + m u, k (u + v) = k u + k v, y k (m u) = (k m) u.
Una combinación lineal de u y v es un vector de la forma a u + b v, con a y b reales. Calcularla es multiplicar y luego sumar. No es un producto escalar: el resultado sigue siendo un vector.
Dos vectores son linealmente dependientes si uno es escalar del otro, incluido el caso en que alguno es cero. Equivalentemente, existen a y b, no los dos nulos, con a u + b v = 0. Son independientes si a u + b v = 0 obliga a a = 0 y b = 0. En el plano, (1, 0) y (0, 1) son independientes: a(1, 0) + b(0, 1) = (a, b) = (0, 0) implica a = 0 y b = 0. En cambio (2, 4) = 2(1, 2), así que {(2, 4), (1, 2)} es dependiente.
Resultado: (−1, 8).
Resultado: son dependientes. Contraste: (1, 0) y (0, 1) no lo son, porque (a, b) = (0, 0) obliga a los dos coeficientes a cero.
Se dice que dos vectores solo son dependientes si uno de ellos es el cero. Es falso. (2, −1) y (−4, 2) son los dos distintos de cero y aun así son dependientes, porque el segundo es −2 veces el primero.
El cero sí provoca dependencia: 1 · (0, 0) + 0 · u = 0 usa un coeficiente no nulo. Pero no es el único caso. La prueba es la existencia de un múltiplo, no el hecho de que «se vean distintos».
A la izquierda, (2, −1) y su múltiplo (−4, 2) viven en la misma recta. A la derecha, (1, 0) y (0, 1) abren el plano: ninguna combinación de uno solo recupera al otro.
En la vida real
Si dos desplazamientos permitidos van por la misma recta, por mucho que combines sus múltiplos no sales de esa recta. Hace falta una segunda dirección, no múltiplo de la primera, para llegar a un punto cualquiera del plano. Eso es la independencia, dicha con movimientos.
u = (2, −1) está fijo. El control es el escalar k. La figura dibuja k u. Busca el k que da (−4, 2) y escribe en la caja la combinación 3(1, 2) − 2(2, −1).
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Respuesta: (2, −2) + (3, 2) = (5, 0).
Por qué: el escalar 2 multiplica las dos componentes de (1, −1) y después se suma componente a componente con (3, 2).
Respuesta: sí, porque (2, 4) = 2(1, 2).
Por qué: las dos componentes cumplen la misma proporción 2. Una combinación que da cero es 1·(2, 4) + (−2)·(1, 2) = (0, 0).
Respuesta: no.
Por qué: a(1, 0) + b(0, 1) = (a, b) solo es cero si a y b son cero. No existe un múltiplo que lleve el primero al segundo.
Escribe el desarrollo en este cuadro. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página. No se envía a ningún sitio.
Lienzo para el boceto.
Multiplicar por un escalar estira las dos componentes a la vez. Una combinación lineal sigue siendo un vector. Dos vectores son dependientes cuando uno es múltiplo del otro. No hace falta una matriz para verlo.
Escribe (5, 1) como combinación de (1, 0) y (0, 1). Después intenta escribir (5, 1) como múltiplo de un solo vector (2, −1) y explica, con componentes, por qué no sale.
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