La combinatoria, en el sentido numérico, es una técnica de conteo. No hace falta un problema enorme: con 4, 5 o 6 elementos ya se ve la diferencia entre ordenar, elegir con orden y elegir sin orden. Aquí no se repiten elementos dentro de una misma selección.
n! es el producto de los enteros de 1 a n. Así 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120 y 6! = 720. El convenio 0! = 1 no es un capricho: hay una sola manera de ordenar el conjunto vacío, y además hace que las fórmulas de variaciones y combinaciones no se rompan cuando no se elige a nadie, o cuando se elige a todo el mundo. No calcules 0! como 0.
Una permutación de n objetos distintos es una ordenación de todos. El primero se puede elegir de n maneras, el segundo de n − 1, y así hasta 1. Por eso P(n) = n!. Cinco libros distintos en una balda: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1. La cuenta intermedia es 5 · 4 = 20, 20 · 3 = 60, 60 · 2 = 120, 120 · 1 = 120.
Una variación de n elementos tomados de k en k es una selección ordenada, sin repetir. V(n, k) = n · (n − 1) · … · (n − k + 1), que es lo mismo que n! / (n − k)!. De 6 personas se elige presidente y secretario, cargos distintos: importa quién ocupa cada cargo. V(6, 2) = 6 · 5 = 30. Por factoriales: 6! / 4! = 720 / 24 = 30. Las dos vías coinciden.
Una combinación no distingue el orden. C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!), o bien V(n, k) / k!. Elegir 2 delegados de un grupo de 5, sin cargos distintos: C(5, 2) = (5 · 4) / 2! = 20 / 2 = 10. Por factoriales: 5! / (2! · 3!) = 120 / (2 · 6) = 120 / 12 = 10. La lista cabe en una línea, con letras A, B, C, D, E: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Son 10. No hay BA porque es el mismo par que AB.
Casos de borde que conviene saber de memoria: C(n, 0) = 1, C(n, n) = 1 y C(n, 1) = n. Elegir a nadie, o elegir a todos, se puede hacer de una sola manera.
Resultados: 120 ordenaciones y 30 parejas de cargos.
Resultado: 10.
Se usa V(5, 2) = 20 para los delegados sin cargo. Eso cuenta AB y BA como si fueran comités distintos. No lo son: el orden no está en el enunciado. Hay que dividir entre 2! y quedan 10.
El error gemelo es hacer 0! = 0. Entonces C(5, 0) = 120 / (0 · 120) no tendría sentido. Con 0! = 1, C(5, 0) = 120 / (1 · 120) = 1: hay una manera de no elegir a nadie.
Con A, B y C, las variaciones ordenadas son AB, AC, BA, BC, CA, CB: seis, que es 3 · 2. Las combinaciones son solo AB, AC y BC: tres, que es 6 / 2.
En la vida real
En un grupo de clase, «dos delegados» no es lo mismo que «delegado y subdelegado». En el segundo enunciado AB y BA son situaciones distintas. La combinatoria no adivina el contexto: lee si el orden está nombrado. Con números pequeños, listar es la comprobación, no un atajo de vagos.
Elige n entre 1 y 6. La figura dibuja n casillas y el texto calcula n!. En la caja, calcula C(6, 2) de las dos maneras: (6 · 5) / 2 y 720 / (2 · 24).
Clave local: bach1-mates-i-L03. No se envía a ningún sitio.
Respuesta: 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
Por qué: 4 · 3 = 12 y 12 · 2 = 24. El último factor 1 no cambia el producto. Es el número de maneras de ordenar 4 objetos distintos.
Respuesta: (6 · 5) / 2 = 30 / 2 = 15.
Por qué: el orden no importa, así que se divide la variación entre 2!. Contraste: 6! / (2! · 4!) = 720 / (2 · 24) = 720 / 48 = 15.
Respuesta: 4 · 3 = 12.
Por qué: el primer puesto tiene 4 opciones y el segundo 3, sin reponer. 4! / 2! = 24 / 2 = 12, la misma cuenta.
Escribe el desarrollo en este cuadro. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página. No se envía a ningún sitio.
Lienzo para el boceto.
Si se ordena todo, factorial. Si se elige una parte y el orden importa, variación. Si el orden no importa, combinación: divide entre el factorial del tamaño del grupo. Con números pequeños, la lista manda sobre la memoria de la fórmula.
Toma 4 personas. Escribe cuántas maneras hay de sentarlas en fila y cuántas de elegir un comité de 2. Lista el comité. Las dos respuestas tienen que salir de cuentas distintas y las dos se pueden comprobar a mano.
reto_id: bach1-mates-i-L03