El decreto pide comprender el logaritmo y usarlo para simplificar y resolver problemas. Aquí el logaritmo no es una tecla: es el nombre del exponente. Si la base está clara y el argumento es una potencia de esa base, el resultado es un entero y se puede revisar multiplicando.
logb a = c significa, por definición, que bc = a. Hace falta b > 0, b ≠ 1 y a > 0. No se define el logaritmo de 0 ni el de un negativo en los reales. Ejemplos directos: log2 8 = 3 porque 23 = 8; log2 32 = 5 porque 25 = 32; log3 81 = 4 porque 34 = 81; log9 81 = 2 porque 92 = 81.
En este curso, log sin base escrita significa logaritmo decimal, base 10, y ln significa logaritmo neperiano, base e. No hace falta el valor decimal de e para los ejercicios de esta lección: usaremos identidades exactas. Así log 100 = 2 porque 102 = 100, log 1000 = 3 porque 103 = 1000, y log 10 = 1. También ln e = 1 y ln 1 = 0, porque e1 = e y cualquier base positiva distinta de 1 elevada a 0 vale 1, así que logb 1 = 0.
Si los logaritmos existen, el logaritmo de un producto es la suma de logaritmos: logb(xy) = logb x + logb y. La razón es que los exponentes se suman cuando las bases iguales se multiplican. El logaritmo de un cociente es la resta: logb(x/y) = logb x − logb y. El logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo: logb(xn) = n logb x.
Estas igualdades no se extienden a una suma dentro del logaritmo. logb(x + y) no es logb x + logb y. El error está más abajo, con números.
Si c es otra base válida, logb a = logc a / logc b. En particular logb a = ln a / ln b = log a / log b. No es una fórmula para decorar: sirve cuando conoces los logaritmos en una base y quieres otra. Comprobación con enteros: log9 81 = log3 81 / log3 9 = 4 / 2 = 2, y ya sabíamos que 92 = 81.
Una cantidad se duplica cada hora, de forma exacta, a partir de 1 unidad. Se pregunta cuántas horas hacen falta para llegar a 64 unidades. La ecuación es 2n = 64. Por definición, n = log2 64. Como 64 = 26, n = 6. Comprobación: 26 = 64. No hay dato experimental inventado: es el modelo «se duplica», traducido a un exponente.
Resultado: 8.
Resultados: la resta vale 4 y log9 81 vale 2.
Se reparte el logaritmo sobre una suma: log2(4 + 4) = log2 4 + log2 4. El lado izquierdo es log2 8 = 3, porque 4 + 4 = 8 y 23 = 8. El lado derecho es 2 + 2 = 4, porque log2 4 = 2. 3 ≠ 4.
La suma de logaritmos corresponde a un producto, no a una suma: log2 4 + log2 4 = log2(4 · 4) = log2 16 = 4. El 4 del lado derecho sí cuadra con el producto.
Cada punto marca un par (potencia de 2, exponente). No es un dibujo aproximado de otros puntos: solo están los que salen de 20, 21, 22 y 23.
En la vida real
Pasar de 1 a 64 duplicando no son 32 pasos «porque 64 es el doble de 32». Son 6, porque cada paso multiplica por 2 y 26 = 64. El logaritmo cuenta los pasos. Lo mismo vale para cualquier base exacta: si algo se multiplica por 10, log 1000 = 3 dice que han hecho falta tres factores de 10.
Elige el exponente n de 0 a 6. La figura marca 2n y escribe log2(2n) = n. En la caja, resuelve log2(48 / 3) con la propiedad del cociente y comprueba que da 4.
Clave local: bach1-mates-i-L02. No se envía a ningún sitio.
Respuesta: 4, porque 24 = 16.
Por qué: la definición pide el exponente. 2·2·2·2 = 16, así que el exponente es 4 y no hace falta una cifra decimal.
Respuesta: 2 + 1 = 3, que es log3 27.
Por qué: 32 = 9 y 31 = 3. La suma de logaritmos es el logaritmo del producto: 9 · 3 = 27 = 33.
Respuesta: log 10 = 1 y ln 1 = 0.
Por qué: 101 = 10, y cualquier base válida elevada a 0 vale 1, luego el logaritmo de 1 es 0 también en base e.
Escribe el desarrollo en este cuadro. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página. No se envía a ningún sitio.
Lienzo para el boceto.
El logaritmo responde «¿a qué exponente?». Suma con productos, resta con cocientes, y el cambio de base es un cociente de logaritmos. La suma dentro del paréntesis no se reparte. log es decimal y ln es neperiano.
Elige una base entera entre 2 y 5 y un exponente entre 2 y 5. Escribe el logaritmo que sale, la comprobación con la potencia, y una igualdad de producto o de cociente que uses con ese resultado. Todo tiene que quedar en enteros.
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