En el sentido numérico de Matemáticas I se pide operar con reales en los casos sencillos, de cabeza o por escrito. Esta lección se queda ahí: valor absoluto, potencias de exponente entero y raíces que salen exactas. Los logaritmos y los complejos vienen después; mezclarlos ahora solo tapa la prioridad.
Los reales, ℝ, son los números que se colocan en la recta: enteros, fracciones y los que no son fracción, como √2. Para operar no hace falta «ver» todos. Hace falta saber qué operación se hace antes. Un número real negativo no es un error: es un punto a la izquierda del cero, y el valor absoluto mide cuántas unidades lo separan del cero.
El valor absoluto de un real x, escrito |x|, es su distancia a 0. Por eso |7| = 7 y |−7| = 7. No es una operación que «siempre pone signo más delante de lo que haya». Si dentro hay una suma, primero se calcula el interior: |−5 − 3| = |−8| = 8. La distancia no es negativa. El único número con valor absoluto 0 es el propio 0.
En la recta, |x| es el largo del segmento que une x con 0. Por eso |a − b| es la distancia entre a y b. Aquí lo usaremos sobre todo para simplificar expresiones, no como una ecuación con dos ramas: eso se puede dejar para cuando aparezcan inecuaciones.
Si n es un entero positivo, an es a multiplicado por sí mismo n veces. Así 32 = 9 y 33 = 27. El signo depende de la base y del exponente. Con la base negativa hace falta el paréntesis: (−2)3 = (−2)·(−2)·(−2) = −8, porque el exponente es impar. (−2)4 = 16, porque el exponente es par. Sin paréntesis, −24 significa −(24) = −16: la potencia se aplica solo al 2.
Exponente 1: a1 = a. Exponente 0, con a distinto de 0: a0 = 1. No vamos a usar exponentes negativos en los ejemplos de esta lección; cuando aparezcan, a−n = 1/an siempre que a ≠ 0.
La raíz cuadrada principal √a, con a ≥ 0, es el único real no negativo cuyo cuadrado es a. Por eso √16 = 4 y no −4, aunque (−4)2 también sea 16. El signo menos, si hace falta, se escribe delante: −√16 = −4. √0 = 0. √1 = 1. En esta lección solo entran raíces que se reconocen de memoria: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Si el radicando no es uno de esos cuadrados, no lo sustituyas por un decimal inventado.
El convenio de esta lección, el de bachillerato en España, es este:
La multiplicación y la división están al mismo nivel. No se hace «primero toda la multiplicación del renglón y luego toda la división». Se lee por la izquierda: 12 : 3 · 2 = 4 · 2 = 8, no 12 : 6. El punto medio · y el aspa × indican producto; los dos puntos o la barra indican división. 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14, no 20.
Resultado: 8. Comprobación: 7 + 9 − 8 = 16 − 8 = 8. No hay decimales que redondear.
Resultado: −4. Si alguien hace el absoluto solo del 5 y deja el −3 fuera, parte de otra expresión: |−5| − 3 = 2, que no es el enunciado.
Se escribe −32 = 9. Eso es falso. Sin paréntesis, el cuadrado afecta solo al 3: −32 = −(32) = −9.
La cuenta correcta del cuadrado de negativo es (−3)2 = (−3)·(−3) = 9. El paréntesis no es adorno: cambia el resultado de 9 a −9, una diferencia de 18.
El mismo descuido con el exponente par aparece en −24 = −16 frente a (−2)4 = 16. Antes de calcular, subraya qué es la base.
De −7 a 0 hay 7 unidades, las mismas que de 0 a 7. La raíz √16 = 4 cae en el 4, no en el −4: la principal se queda en la semirrecta de los no negativos.
Escala de la figura: del −8 al 8 hay 600 px de trazo útil, 37,5 px por unidad. El −7 queda a 7·37,5 = 262,5 px a la izquierda del cero (340 − 262,5 = 77,5). El 4 queda a 150 px a la derecha (340 + 150 = 490). El 7 queda a 262,5 px a la derecha (340 + 262,5 = 602,5).
En la vida real
En un perfil de camino, −7 m puede ser un descenso respecto de la cota de referencia. La longitud de cuerda que hace falta para salvar ese desnivel depende de la distancia, 7 m, no del signo del parte. El signo dice el sentido; el absoluto dice cuánto. Confundirlos es como anotar que «faltan −3 euros» cuando en realidad sobran o faltan tres: el paréntesis y el signo tienen que decir lo mismo que la frase.
Mueve el control. El punto azul es x y el texto recalcula |x|. Después escribe, en la caja, el desarrollo de |−6| + (−1)4 − √9. No hace falta enviar nada: el texto se queda en este navegador.
Clave local: bach1-mates-i-L01. No se envía a ningún sitio.
Respuesta: 12 − 9 = 3.
Por qué: |−12| = 12 y (−3)2 = 9. El paréntesis mete el signo en la base, así que no es −9. Restar 9 de 12 deja 3.
Respuesta: 7 · 2 + 3 = 14 + 3 = 17.
Por qué: √49 = 7, el producto se hace antes que la suma, y 14 + 3 = 17. Hacer (√49 · 2 + 3) como 7 · 5 sería otro enunciado, con paréntesis que aquí no están.
Respuesta: (−2)4 = 16 y −24 = −16.
Por qué: con paréntesis la base es −2 y el exponente par da positivo: 16. Sin paréntesis la potencia es solo del 2 y el menos queda fuera: −(16) = −16.
Escribe el desarrollo en este cuadro. Si necesitas un boceto, dibújalo en el lienzo de esta misma página. No se envía a ningún sitio.
Lienzo para el boceto.
Primero el interior de paréntesis y de barras, luego potencias y raíces, luego productos y divisiones de izquierda a derecha, y al final sumas y restas. El absoluto es una distancia. La raíz principal no es negativa. El paréntesis decide si el signo entra en la base.
Inventa una expresión que use un absoluto, una potencia y una raíz exacta, calcúlala tú primero en un papel, y escribe en la caja el desarrollo completo. Cambia solo un paréntesis y anota cuánto se mueve el resultado. Tiene que poder revisarse con aritmética entera, sin decimales aproximados.
reto_id: bach1-mates-i-L01