1º Bach Matemáticas Generales · CyL Decreto 40/2022 · E.3 Uniforme discreta y continua, binomial y normal
Objetivos
Calcular probabilidades binomiales con n pequeño a partir del número de caminos.
Usar la longitud del intervalo en una uniforme continua y el recuento de caras en una discreta.
Tipificar antes de aplicar la regla empírica de la normal.
Tres modelos, tres maneras de contar
No toda probabilidad sale de listar el espacio a mano. Cuando los resultados son equiprobables y finitos, basta la uniforme discreta. Cuando lo equiprobable es un continuo, la probabilidad es longitud a favor entre longitud total. Cuando se repite n veces, en las mismas condiciones e independientes, un éxito de probabilidad p, aparece la binomial. La normal entra cuando los datos se acumulan en campana alrededor de una media, y entonces se trabaja en desviaciones típicas, no en centímetros crudos.
uniforme discreta: P = 1/n en cada caso · uniforme continua en [0, L]: P(a ≤ X ≤ b) = (b − a)/L · binomial: P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^(n − k) · en la normal, z = (x − μ) / σ · regla empírica aproximada: unos 68 % a menos de una σ, unos 95 % a menos de dos
En la binomial del gráfico, p = 1/2 y (1/2)^4 = 1/16, así que cada secuencia concreta de cuatro respuestas vale 1/16. Tres aciertos son las secuencias con exactamente tres sí: hay C(4, 3) = 4, luego P(X = 3) = 4/16 = 1/4. Esa es la barra clara. La barra central, seis dieciseisavos, es el caso de dos aciertos, el más frecuente, y no hay que confundirlo con el ejemplo solo porque sea más alta.
La campana de la derecha no está en la misma escala: es otra variable, la estatura, con μ = 170 y σ = 6. Las rectas verdes marcan 164 y 176, es decir μ ± σ. La regla empírica dice que alrededor del 68 % de una normal cae entre ellas. No es una barra de la binomial ni un porcentaje leído del eje de los aciertos.
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — Tres aciertos al azar
En cuatro preguntas justo al azar, calcula P(X = 3) y explica de dónde sale el 4 del numerador.
Cada secuencia de cuatro respuestas tiene probabilidad (1/2)^4 = 1/16. Acertar o fallar una concreta no cambia el peso de las demás.Glosa: p = 1 − p = 1/2, así que no hace falta separar p^k y (1 − p)^(n − k): todo es 1/16.
Las secuencias con exactamente tres aciertos son cuatro: falla solo la primera, o solo la segunda, o solo la tercera, o solo la cuarta.Glosa: C(4, 3) = 4. También C(4, 1) = 4, porque elegir qué pregunta se falla es lo mismo.
P(X = 3) = 4/16 = 1/4. En la figura es la barra clara, no la más alta.Glosa: la más alta es k = 2, con 6/16. El ejemplo pide tres aciertos, no «el caso típico».
Comprobación de todo el modelo: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16, y 16/16 = 1. Si la barra del 3 se leyera como 3/16, la suma ya no cerraría.Glosa: el numerador es el número de caminos, no el valor k.
Ejemplo resuelto 2 — Dos uniformes distintas
Un dado justo: probabilidad de sacar 1 o 2. Una espera al autobús, uniforme entre 0 y 30 minutos: probabilidad de esperar menos de 10. Compara las dos cuentas.
Dado: seis caras equiprobables, P(cada cara) = 1/6. Sacar 1 o 2 son dos caras, 2/6 = 1/3.Glosa: uniforme discreta cuenta casos favorables entre casos posibles. El 6 es el número de caras, no un minuto.
Autobús: cualquier instante entre 0 y 30 es igual de plausible. La probabilidad es longitud, 10/30 = 1/3.Glosa: uniforme continua no tiene «caras». El 30 es la longitud del intervalo total.
Los dos resultados valen 1/3 y no son el mismo modelo. Uno cuenta 2 de 6; el otro mide 10 de 30.Glosa: que el número coincida es casual. La unidad de la cuenta es lo que distingue los modelos.
Si el autobús solo pudiera llegar en el minuto 0, 10, 20 o 30, ya no sería continua. El enunciado de «en cualquier momento» es lo que autoriza a dividir longitudes.Glosa: elegir el modelo es leer cómo se genera el azar, antes de operar.
Ejemplo resuelto 3 — Estatura a dos desviaciones
Estaturas normales de media 170 cm y desviación típica 6 cm. Un alumno mide 182 cm. Tipifica y sitúalo con la regla empírica.
Puntuación z: (182 − 170) / 6 = 12/6 = 2. Está exactamente dos desviaciones típicas por encima de la media.Glosa: sin dividir entre σ, 12 cm no se sabe si es mucho. Con σ = 6, 12 cm son dos unidades estándar.
La regla empírica coloca alrededor del 95 % entre μ − 2σ y μ + 2σ, esto es entre 158 y 182.Glosa: 170 − 12 = 158 y 170 + 12 = 182. El 182 es el borde superior de ese intervalo.
Por encima de dos desviaciones, en un solo lado, queda alrededor de la mitad del 5 % exterior, cerca del 2,5 %.Glosa: la campana es simétrica. El 5 % de fuera se reparte en dos colas de unos 2,5 %.
No se dice «182 está cerca de 170 porque solo hay 12 cm». Doce centímetros son muchos cuando σ vale 6. La figura marca solo ±1σ, de 164 a 176; 182 cae fuera de esas dos rectas verdes.Glosa: primero z, después la regla. El centímetro crudo no es la unidad del modelo.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Al menos tres aciertos
Con la misma binomial de la figura, calcula P(X ≥ 3). Explica por qué no basta la barra clara.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es sumar las barras que cumplen la desigualdad, no leer solo la que el ejemplo había marcado. X ≥ 3 incluye k = 3 y k = 4, con numeradores 4 y 1. La probabilidad es 4/16 + 1/16 = 5/16. La barra clara, 4/16, es exactamente tres aciertos; dejar fuera el 1/16 sería contestar P(X = 3) a un enunciado que dice «al menos». Las barras de 0, 1 y 2 no entran. Comprobación por el complementario: P(X ≤ 2) = (1 + 4 + 6)/16 = 11/16, y 1 − 11/16 = 5/16. El valor k no se suma: se suman las probabilidades de los k favorables.
2. Espera entre 10 y 20
El autobús llega al azar uniforme entre el minuto 0 y el 30. ¿Qué probabilidad hay de esperar entre 10 y 20 minutos, incluidos?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es restar los extremos del tramo favorable y dividir entre la longitud total, no contar minutos como si fueran caras de un dado discreto mal definido. El tramo mide 20 − 10 = 10 minutos y el total mide 30, luego 10/30 = 1/3. Incluir o no los extremos no cambia la probabilidad en una continua, porque un instante suelto tiene longitud cero. No es 11/31 ni un conteo de enteros: el modelo del enunciado es la uniforme continua, la misma en la que esperar menos de 10 ya valía 10/30. Dos tramos de la misma longitud tienen la misma probabilidad, y por eso este tercio coincide con el de los diez primeros minutos.
3. Dentro de una desviación
Con media 170 y σ = 6, ¿entre qué estaturas cae, aproximadamente, el 68 % central? ¿182 entra en ese intervalo?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es sumar y restar una sola desviación típica a la media, no dos, porque el 68 % de la regla empírica es el intervalo μ ± σ. 170 − 6 = 164 y 170 + 6 = 176. Esas son las rectas verdes de la figura. El 182 está en z = 2, fuera de ese intervalo: entra en el del 95 %, que llega hasta 182, y no en el del 68 %. Confundir «una desviación» con «dos» cambiaría las marcas a 158 y 182 y metería al alumno dentro del porcentaje equivocado. La regla es aproximada y solo se aplica cuando el enunciado sostiene que la variable es normal; no es una propiedad de cualquier lista de estaturas.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿Cuánto vale P(X = 3) en la binomial de la figura y por qué el numerador es 4?
Vale 4/16 = 1/4. Por qué: cada una de las 16 secuencias pesa lo mismo y hay exactamente 4 con tres aciertos, una por cada pregunta que se falla. La barra clara marca ese caso. No es 3/16: el 3 es el número de aciertos, no el número de caminos.
¿Por qué 2/6 en el dado y 10/30 en el autobús pueden coincidir y no ser el mismo modelo?
Porque uno cuenta caras y el otro mide minutos. Por qué: los dos cocientes valen 1/3, pero la uniforme discreta parte de 6 resultados y la continua parte de un intervalo de longitud 30. Elegir mal la unidad cambia el denominador en el siguiente problema.
¿Dónde está 182 cm si μ = 170 y σ = 6?
En z = 2, el borde del intervalo del 95 % aproximado, y fuera del intervalo 164 a 176. Por qué: (182 − 170)/6 = 2. La figura marca solo una desviación típica. Doce centímetros no se interpretan sin dividir entre σ.
Reto Profesor
Marca la barra del tres
Copia en el lienzo las cinco barras con sus numeradores 1, 4, 6, 4 y 1, destaca la de tres aciertos y anota 4/16. Al lado, marca 164 y 176 alrededor de 170.