1º Bach Matemáticas Generales · CyL Decreto 40/2022 · E.2 Compuestos, condicionada, independencia y árbol
Objetivos
Multiplicar a lo largo de una rama usando la probabilidad condicionada de la segunda extracción.
Sumar ramas cuando el suceso es una unión de caminos distintos.
Reconocer independencia solo cuando la condicionada coincide con la marginal, como al reemplazar.
El árbol guarda el orden y el denominador
Una probabilidad compuesta es la de un camino entero: primera extracción y segunda. En el árbol se multiplica la probabilidad de la rama de salida por la de la rama que sale de ella. Sin reemplazo, la segunda no se copia de la primera: queda una bola menos, y del color que ya salió queda una menos todavía.
P(R) = 5/8 · P(A) = 3/8 · sin reemplazo, tras roja: 4 rojas y 3 azules entre 7 · P(RR) = (5/8)·(4/7) = 20/56 · ramas que se suman = caminos distintos del mismo suceso · independencia = la condicionada no cambia al saber la primera
Las cuatro hojas suman 20/56 + 15/56 + 15/56 + 6/56 = 56/56 = 1. Esa comprobación delata una rama mal contada. Colores distintos son dos caminos, RA y AR, no uno: 15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28. Dos rojas son un solo camino, 20/56 = 5/14.
Con reemplazo la urna no cambia y P(segunda roja | primera roja) sigue siendo 5/8, igual que la marginal: ahí sí hay independencia. Sin reemplazo, 4/7 no es 5/8. El laboratorio pone las dos situaciones una al lado de la otra para que el denominador no se copie por costumbre.
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — Dos colores distintos
Con el árbol de la figura, calcula la probabilidad de sacar una roja y una azul, en cualquier orden.
Camino roja luego azul: (5/8)·(3/7) = 15/56. Tras la roja quedan 3 azules de 7 bolas.Glosa: el 3 del numerador son las azules, que no han cambiado; el denominador sí, de 8 a 7.
Camino azul luego roja: (3/8)·(5/7) = 15/56. Ahora se han quitado una azul y quedan las 5 rojas entre 7.Glosa: el orden cambia qué condicionada se usa, aunque el producto numérico coincida.
El suceso «una de cada» es la unión de esos dos caminos, que no se solapan. Se suman: 15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28.Glosa: multiplicar solo un camino olvidaría la mitad de las formas de conseguir colores distintos.
Comprobación: los cuatro caminos suman 56/56. Los que no son mixtos son 20/56 + 6/56 = 26/56, y 1 − 26/56 = 30/56.Glosa: restar del total es lícito porque las cuatro hojas forman todo el espacio.
Ejemplo resuelto 2 — Con devolución el denominador no baja
Se devuelve la primera bola. Calcula P(dos rojas) y compara P(segunda roja | primera roja) con 5/8.
Con reemplazo, la segunda roja sigue teniendo probabilidad 5/8 aunque la primera haya sido roja. Hay independencia.Glosa: devolver restaura las 5 rojas y las 3 azules. El 7 no aparece.
P(RR) = (5/8)·(5/8) = 25/64. Ya no es 20/56. El numerador de la segunda rama no baja de 5 a 4.Glosa: 25/64 ≈ 0,391 y 20/56 ≈ 0,357. Sacar dos rojas es un poco más fácil si se devuelve la primera.
La condicionada coincide con la marginal: 5/8 = 5/8. Esa igualdad es la definición de independencia en este experimento.Glosa: sin reemplazo la misma comparación era 4/7 frente a 5/8, y no se cumplía.
No basta con que las extracciones «se parezcan». Hay que mirar si la información de la primera cambia el número de la segunda.Glosa: el árbol con reemplazo repite las fracciones; el de la figura no las repite.
Ejemplo resuelto 3 — La segunda roja, sin saber la primera
Sin reemplazo, calcula la probabilidad de que la segunda bola sea roja, sumando los dos caminos que acaban en roja.
Caminan a segunda roja: RR, que vale 20/56, y AR, que vale 15/56.Glosa: RA acaba en azul y AA acaba en azul. No entran en este suceso.
Suma: 20/56 + 15/56 = 35/56 = 5/8. La segunda bola, a ciegas, tiene la misma probabilidad de ser roja que la primera.Glosa: 35/56 = 5/8 porque 35 ÷ 7 = 5 y 56 ÷ 7 = 8.
No contradice la dependencia. 4/7 es la probabilidad si ya se vio una roja. 5/8 es la probabilidad si no se vio nada.Glosa: marginal de la segunda y condicionada de la segunda son preguntas distintas.
Por simetría, cualquiera de las ocho bolas es igual de probable en la segunda posición si no hay información. Por eso reaparece 5/8.Glosa: el árbol no «olvida» el sin reemplazo; al sumar los dos caminos, la información se cancela.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Dos azules
Sin reemplazo, calcula P(dos azules) y explica por qué la segunda fracción es 2/7 y no 3/8.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es actualizar la urna después de la primera azul, no copiar 3/8 en la segunda rama. La primera azul sale con probabilidad 3/8. Quedan entonces 2 azules y 5 rojas, siete bolas, así que la segunda azul tiene probabilidad 2/7. El producto es (3/8)·(2/7) = 6/56 = 3/28, que es la hoja AA de la figura. Usar otra vez 3/8 sería devolver la bola sin decirlo y daría (3/8)·(3/8) = 9/64, un experimento distinto. El 2 del numerador es «una azul menos» y el 7 es «una bola menos»: las dos rebajas van juntas.
2. ¿Dónde está la independencia?
Explica con las fracciones 4/7 y 5/8 si las dos extracciones sin reemplazo son independientes, y qué habría que cambiar en la urna para que lo fueran.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es comparar la condicionada con la marginal del mismo color, no juzgar por el aspecto del árbol. Sin reemplazo, P(segunda roja | primera roja) = 4/7, y la marginal de roja en la primera es 5/8. Como 4/7 ≠ 5/8, saber que la primera fue roja cambia la probabilidad de la segunda, y no hay independencia. Para que la hubiera, la segunda fracción tendría que seguir siendo 5/8, y eso ocurre si la bola se devuelve: la urna queda otra vez en 5 rojas y 3 azules. Independencia aquí no es una opinión sobre si los colores «tienen que ver»; es esa igualdad numérica.
3. Un solo camino no basta
Alguien calcula «roja y azul» solo como 15/56. ¿Qué suceso ha calculado en realidad y cuál es el que pedía cualquier orden?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es listar los caminos del suceso antes de multiplicar una sola rama. 15/56 es únicamente roja seguida de azul, la hoja RA. El suceso «una de cada color», sin fijar el orden, incluye también azul seguida de roja, otros 15/56. La unión suma 30/56 porque los dos caminos no pueden ocurrir a la vez. Quedarse en 15/56 responde a una pregunta más estrecha, con el orden escrito. En cuanto el enunciado dice «en cualquier orden» o «una de cada», hay que recorrer las dos ramas del árbol y sumarlas. La comprobación con el complementario, 1 − 20/56 − 6/56 = 30/56, evita olvidar AR.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿Cuánto suma la probabilidad de una roja y una azul, en cualquier orden?
30/56, es decir 15/28. Por qué: son dos caminos, (5/8)·(3/7) = 15/56 y (3/8)·(5/7) = 15/56, y se suman porque el orden no está fijado. Un solo camino dejaría fuera la mitad del suceso.
¿Por qué sin reemplazo no hay independencia?
Porque 4/7 no es igual a 5/8. Por qué: si la primera fue roja, quedan 4 rojas de 7, no 5 de 8. La información de la primera extracción cambia la segunda. Con devolución las dos fracciones serían 5/8 y ahí sí serían independientes.
Si no se mira la primera bola, ¿qué probabilidad tiene la segunda de ser roja?
5/8, la misma que la primera. Por qué: se suman RR y AR, 20/56 + 15/56 = 35/56 = 5/8. No es la condicionada 4/7, porque esa exige haber visto una roja. Sin información, cualquiera de las ocho bolas puede ocupar el segundo lugar.
Reto Profesor
Numera las ramas
En el lienzo dibuja el árbol de la urna, escribe 5/8, 3/8 y las cuatro segundas fracciones con denominador 7, y rodea las dos hojas que se suman para colores distintos.