1º Bach Matemáticas Generales · CyL Decreto 40/2022 · E.1 r, R², residuo y fiabilidad de la predicción
Objetivos
Calcular un residuo como valor observado menos predicción, con su signo.
Interpretar R² como fracción de la suma de cuadrados, no como probabilidad de acertar.
Distinguir una predicción dentro del rango de una extrapolación.
Residuo, R² y el borde de los datos
La pendiente dice cuánto sube la recta. El residuo dice cuánto falla en un punto concreto: es vertical, porque la regresión minimiza errores en y, no distancias perpendiculares a la recta. R² dice qué parte de la variación de las notas queda recogida por esa recta. Ninguno de los tres convierte la predicción en un hecho cuando x se sale del intervalo observado.
ŷ = a + bx · residuo e = y − ŷ · signo positivo = el punto queda por encima de la recta · SCres = suma de e² · SCtot = Syy · R² = 1 − SCres/SCtot = r² en el ajuste lineal simple
Con estos cinco puntos los residuos son −0,2, +0,4, 0, −0,4 y +0,2. Suman cero, como tiene que ocurrir en una recta con ordenada calculada a partir de las medias. Sus cuadrados suman 0,04 + 0,16 + 0 + 0,16 + 0,04 = 0,40. La suma de cuadrados de las notas respecto de su media es Syy = 20. Entonces R² = 1 − 0,40/20 = 0,98. También 196/200 = 0,98, porque R² = Sxy² / (Sxx Syy). El 2 % que falta es exactamente esos residuos: no es «un 2 % de probabilidad de equivocarse».
Dentro del intervalo, x = 3,5 da ŷ = 0,8 + 1,4·3,5 = 5,7, una interpolación. En x = 6, fuera de 1 a 5, la fórmula da 9,2, pero ningún alumno de la muestra estudió 6 horas y la nota no puede leerse como si el modelo siguiera igual de fiable. Extrapolación es usar la recta donde no la hemos visto funcionar.
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — El residuo de dos horas
Para el alumno de 2 horas y nota 4, calcula la predicción y el residuo. Di qué significa el signo.
Predicción: ŷ = 0,8 + 1,4 · 2 = 0,8 + 2,8 = 3,6. Es el punto de la recta, no la nota real.Glosa: 1,4 · 2 se calcula antes de sumar la ordenada 0,8.
Residuo: e = 4 − 3,6 = +0,4. Primero el observado, después la predicción. El orden cambia el signo.Glosa: si se resta al revés sale −0,4 y se invierte quién está encima.
El signo positivo significa que la nota real queda 0,4 puntos por encima de la recta. En la figura es el segmento verde.Glosa: el segmento es vertical, a x constante. No es la distancia perpendicular a la recta.
No es un error de redondeo ni un fallo del alumno. Es la parte de la nota que estas cinco x no recogen con una recta.Glosa: residuo pequeño no significa causa. Solo significa que el punto está cerca de la recta.
Ejemplo resuelto 2 — De los residuos a R²
Comprueba que los cinco residuos cuadrados suman 0,40 y que R² = 0,98. Explica qué no significa ese 0,98.
Residuos: en x = 1, 2 − 2,2 = −0,2; en x = 2, +0,4; en x = 3, 5 − 5 = 0; en x = 4, 6 − 6,4 = −0,4; en x = 5, 8 − 7,8 = +0,2.Glosa: 0,8 + 1,4·4 = 6,4 y 0,8 + 1,4·5 = 7,8. Conviene escribir ŷ antes de restar.
Cuadrados: 0,04 + 0,16 + 0 + 0,16 + 0,04 = 0,40. Syy = 20. R² = 1 − 0,40/20 = 0,98.Glosa: se dividen sumas de cuadrados, no los residuos crudos. El signo desaparece al cuadrar.
Atajo: Sxy² / (Sxx Syy) = 196 / 200 = 0,98. Las dos cuentas tienen que coincidir en la recta simple.Glosa: 14² = 196, Sxx = 10 y Syy = 20. Si no coincidiera, habría un residuo mal restado.
0,98 no es la probabilidad de que la próxima nota sea la predicha. Es la fracción de la variación de y que la recta acompaña. Queda un 2 % en los residuos.Glosa: una predicción concreta sigue teniendo residuo. R² no lo anula en cada persona.
Ejemplo resuelto 3 — Dentro y fuera del intervalo
Predice la nota para 3,5 horas y para 6 horas. Di cuál de las dos es una extrapolación y por qué es menos de fiar.
x = 3,5 está entre 1 y 5. ŷ = 0,8 + 1,4 · 3,5 = 0,8 + 4,9 = 5,7. Es interpolación.Glosa: 1,4 · 3,5 = 1,4 · 3 + 1,4 · 0,5 = 4,2 + 0,7 = 4,9.
x = 6 está fuera. La misma fórmula da 0,8 + 1,4 · 6 = 0,8 + 8,4 = 9,2. La aritmética funciona; la garantía, no.Glosa: no hay ningún punto de la muestra a la derecha de x = 5. La recta allí es una hipótesis.
La fiabilidad se apoya en haber visto la nube en esa zona. En 3,5 hay puntos a los dos lados. En 6 no hay ninguno.Glosa: R² = 0,98 describe el ajuste donde están los datos, no un permiso para alargar la recta.
Además la nota del centro, si el máximo es 10, aún cabría 9,2, pero ese techo no lo ha informado la muestra. Extrapolación suma riesgo de forma y riesgo de contexto.Glosa: salirse del rango de x es el criterio. No hace falta que la predicción sea absurda para desconfiar.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Residuo en cinco horas
El alumno de 5 horas sacó un 8. Calcula ŷ y el residuo, y explica el signo con una frase.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es evaluar la recta en ese x y restar después, en el orden observado menos predicción. ŷ = 0,8 + 1,4·5 = 7,8. El residuo es 8 − 7,8 = +0,2. El signo positivo dice que la nota quedó dos décimas por encima de la recta, no que la recta «se haya pasado». Si alguien calcula 7,8 − 8 = −0,2 y lo llama residuo del mismo convenio, ha cambiado el criterio y ya no podrá sumar los residuos de la muestra y obtener cero. El segmento es vertical: se compara la nota con la altura de la recta en la misma hora, no con el punto de otro alumno.
2. Qué no es R²
Un compañero dice: «R² = 0,98, así que hay un 98 % de probabilidad de acertar la nota». Corrige la frase usando SCres = 0,40 y SCtot = 20.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es recordar que R² es un cociente de sumas de cuadrados, no una probabilidad sobre la próxima persona. 0,40/20 = 0,02 y 1 − 0,02 = 0,98: el 98 % de la suma de cuadrados de las notas, respecto de su media, queda recogido por la recta, y el 2 % restante es la suma de los residuos al cuadrado. Ningún alumno tiene probabilidad 0,98 de obtener exactamente ŷ, porque el residuo de varios de ellos no es cero: en x = 2 vale +0,4. La frase del compañero convierte una medida de ajuste global en una garantía individual. Se corrige diciendo «la recta acompaña el 98 % de la variación cuadrática de estas cinco notas».
3. Una x nueva
¿La predicción en x = 4,5 es más defendible que la predicción en x = 0? Calcula las dos y justifica la diferencia.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El paso es situar cada x respecto del intervalo observado, que va de 1 a 5, antes de fiarse del número. En x = 4,5, ŷ = 0,8 + 1,4·4,5 = 0,8 + 6,3 = 7,1, y 4,5 cae entre dos horas que sí están en la muestra: es interpolación. En x = 0, ŷ = 0,8, pero nadie de los cinco tiene 0 horas y la ordenada es solo el cruce de la recta con el eje, no una nota vista. Las dos cuentas usan la misma fórmula y no tienen la misma fiabilidad. R² alto no arregla la segunda: el coeficiente resume el tramo donde había puntos. Predecir en el borde interior es razonable; predecir en cero es extrapolación.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Comprueba
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿Cuánto vale el residuo del punto (2, 4) y por qué es positivo?
Vale +0,4 porque 4 − 3,6 = 0,4. Por qué: la recta en x = 2 da 0,8 + 2,8 = 3,6 y el residuo resta esa predicción de la nota real. Positivo significa que el punto queda por encima de la recta, que es el segmento verde de la figura.
¿Qué cuenta produce R² = 0,98?
1 − 0,40/20, o bien 196/200. Por qué: los residuos cuadrados suman 0,40 y la variación de las notas suma 20. No es una probabilidad de acierto. El 0,02 que falta está en los residuos, no en una moneda que se lanza a cada predicción.
¿Por qué ŷ = 9,2 en x = 6 es menos de fiar que ŷ = 5,7 en x = 3,5?
Porque 6 está fuera del intervalo de horas de la muestra y 3,5 está dentro. Por qué: la recta se estimó con x desde 1 hasta 5. Interpolación se apoya en puntos vecinos; extrapolación supone que la misma pendiente sigue valiendo donde no hemos visto a nadie. R² = 0,98 no se traslada solo al tramo nuevo.
Reto Profesor
El segmento que falta
Dibuja en el lienzo la recta y el punto (2, 4), marca el residuo vertical y escribe si tu x elegida para una predicción nueva cae dentro o fuera de 1 a 5.