Construir la tabla de valores y situar los puntos.
Leer crecimiento y un valor concreto sobre la recta.
Una recta queda fijada por dos números
Una función afín tiene la forma y = mx + n. El número m es la pendiente: lo que cambia y cuando x aumenta una unidad. El número n es el valor de y cuando x vale 0, el corte con el eje vertical.
m = 2 en el ejemplo · n = 1 · punto de la recta = par (x, 2x+1) · creciente porque m es positivo · si m fuera negativo la recta bajaría
Sustituir es obligatorio antes de dibujar. Para x = 0, y = 1. Para x = 1, y = 2·1 + 1 = 3. Para x = 2, y = 4 + 1 = 5. Esos tres puntos son los círculos del SVG, y la recta ámbar pasa por los tres. No hace falta un cuarto punto para trazarla, pero sirve de comprobación: x = 3 da y = 7, y el extremo derecho del segmento va hacia esa zona.
El escalón verde entre (0, 1) y (1, 3) separa el avance horizontal, que es 1, del vertical, que es 2. El cociente 2/1 es la pendiente. Si alguien dice que la pendiente es 1 porque «empieza en 1», está leyendo n en lugar de m.
x
2x + 1
Punto
0
1
(0, 1)
1
3
(1, 3)
2
5
(2, 5)
3
7
comprobación, fuera de los tres círculos
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — La tabla del gráfico
Calcula y = 2x + 1 en x = 0, x = 1 y x = 2, y di qué es cada número de la fórmula.
En x = 0 queda solo n: y = 1. El círculo de la izquierda está sobre el eje, a altura 1.Glosa: n no es la pendiente. Es el punto de arranque.
En x = 1: 2·1 + 1 = 3. Has sumado la pendiente una vez.Glosa: de (0, 1) a (1, 3) el vertical es +2, que es m.
En x = 2: 2·2 + 1 = 5. Segundo círculo a la derecha del centro del tramo.Glosa: otro paso de +2. La tabla 1, 3, 5 es aritmética de diferencia 2.
Comprobación x = 3: 2·3 + 1 = 7. Si tu recta no puede pasar por (3, 7), la pendiente está mal copiada.Glosa: tres puntos alineados no se discuten; el cuarto caza un error de cuentas.
Ejemplo resuelto 2 — Pendiente como cociente
Entre (1, 3) y (2, 5), calcula el cociente de incrementos y relaciónalo con m.
Δx = 2 − 1 = 1. Δy = 5 − 3 = 2.Glosa: final menos inicial en cada coordenada, como en la variación media.
Cociente Δy/Δx = 2/1 = 2.Glosa: ese 2 es m. En una recta el cociente no depende de qué puntos elijas.
Prueba con (0, 1) y (2, 5): Δx = 2, Δy = 4, cociente 4/2 = 2. La misma pendiente.Glosa: si te saliera otro número, los puntos no estarían en la misma recta.
Por eso la función es creciente: al avanzar x, y sube. Un m negativo invertiría el escalón verde.Glosa: el signo de m se lee en el dibujo sin calcular, y el cálculo lo confirma.
Ejemplo resuelto 3 — Hallar x conocido y
¿Para qué x la recta vale 11? Comprueba sustituyendo.
Plantea 2x + 1 = 11.Glosa: 11 es una ordenada, no un valor de x. Despeja, no lo coloques en la tabla como si fuera x.
Resta 1: 2x = 10. Divide entre 2: x = 5.Glosa: la pendiente está multiplicando, así que al final se divide, no se resta.
Comprobación: 2·5 + 1 = 11. Vuelve a la fórmula.Glosa: si no recuperas 11, el despeje está mal.
En el gráfico, x = 5 cae a la derecha de los círculos, pero en la misma recta. No hace falta que el punto esté dibujado para que exista.Glosa: el SVG enseña el patrón; la fórmula vale fuera del recuadro.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Otra pendiente
Dibuja mentalmente y = −x + 4. Calcula los valores en x = 0, x = 1 y x = 2 y di si crece.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
En x = 0, y = 4. En x = 1, y = 3. En x = 2, y = 2. Baja una unidad cada vez porque m = −1. No es creciente. El paso es leer el signo antes de unir los puntos: la ordenada en el origen es 4, distinta de la del ejemplo, y la pendiente es negativa, así que el escalón baja en vez de subir. Comprueba el cociente entre (0, 4) y (2, 2): Δy/Δx = −2/2 = −1, que es m.
2. Ecuación de la recta de dos puntos
Pasa por (0, 1) y (1, 3), que ya conoces. Escribe la ecuación y explica qué dato te da cada punto.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
(0, 1) fija n = 1, porque cuando x es 0 la fórmula se reduce a n. Entre los dos puntos, Δy/Δx = (3−1)/(1−0) = 2, así que m = 2. La ecuación es y = 2x + 1, la del gráfico. El paso que no se salta es usar el punto del eje para n y un cociente para m, no inventar la pendiente mirando solo una coordenada. Si el primer punto no tuviera x = 0, n no se leería directamente y habría que sustituir después de conocer m.
3. Error de lectura
Alguien dice que y = 2x + 1 en x = 4 vale 6 porque «2+4». ¿Qué ha confundido?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Ha sumado la pendiente con la abscisa y se ha dejado el producto y el término n. Lo correcto es 2·4 + 1 = 9. El paso es respetar la estructura mx + n: m multiplica a x. Sumar 2+4 trata la pendiente como si fuera otro sumando suelto. Comprueba con el patrón de la tabla: desde (2, 5) hasta x = 4 hay dos pasos de +2, así que y = 5+4 = 9, el mismo resultado. El 6 no aparece en esta recta para un x entero pequeño.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿Qué puntos del gráfico confirman y = 2x + 1?
(0, 1), (1, 3) y (2, 5). Por qué: al sustituir esos x se obtienen exactamente esas y, y el escalón verde mide la pendiente 2 entre los dos primeros. Tres puntos alineados con esa tabla fijan la recta del ejemplo.
¿Qué número es la pendiente y cuál el corte?
La pendiente es 2 y el corte es 1. Por qué: en y = mx + n, m multiplica a x y n es y cuando x = 0. Confundirlos hace que la recta arranque en 2 o que suba solo 1.
Si m pasa a ser 0, ¿qué queda?
Queda la recta horizontal y = 1. El paso es sustituir m por 0 en y = mx + n: 0·x + 1 = 1 para cualquier x, así que la altura no cambia al moverte. No aparece un escalón vertical, porque una afín sigue dando un solo y por cada x. Sigue siendo afín, con pendiente 0 y ordenada 1, pero ya no es creciente ni decreciente: es constante.
Reto Profesor
Marca la tuya
Elige otra m y otra n en el laboratorio, copia tres puntos en el lienzo y escribe la pendiente como cociente.