Un patrón numérico se generaliza cuando puedes decir el término que ocupa el lugar n sin haber escrito todos los anteriores. En una sucesión aritmética el salto entre términos consecutivos es siempre el mismo. Ese salto es la diferencia, y entra en la fórmula como coeficiente de n.
a(n) = término que ocupa el lugar n, empezando en n = 1 · diferencia d = 4 en este ejemplo · a(n) = 4n − 1 · comprobar n = 1, 2 y 3 significa sustituir y ver si salen 3, 7 y 11, no mirar solo el dibujo
Si el primero es 3 y cada vez se suman 4, el término n ha sufrido (n − 1) saltos. Entonces a(n) = 3 + (n − 1)·4 = 3 + 4n − 4 = 4n − 1. Las dos escrituras dicen lo mismo. El gráfico enseña los cuatro primeros: alturas 3, 7, 11 y 15, separadas por el mismo salto visual.
Una fórmula que solo acierta el primer término no sirve. Por eso la comprobación pide tres valores, no uno. Si falla en n = 2 o en n = 3, se descarta aunque «se parezca» al principio.
| n | 4n − 1 | Término de la lista | ¿Cuadra? |
|---|---|---|---|
| 1 | 4·1 − 1 = 3 | 3 | sí |
| 2 | 4·2 − 1 = 7 | 7 | sí |
| 3 | 4·3 − 1 = 11 | 11 | sí |
| 4 | 4·4 − 1 = 15 | 15 | sí, predicción ya vista |
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
La lista empieza 3, 7, 11. Alguien propone a(n) = 4n − 1. Sustituye n = 1, n = 2 y n = 3.
Escribe a(n) como «el primero más los saltos» y llega a 4n − 1.
Calcula a(20) con la fórmula buena. Después prueba b(n) = 4n + 3 y di en qué comprobación muere.
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
Con a(n) = 4n − 1, calcula a(10) y comprueba sumando saltos desde a(3) = 11.
Por la fórmula, a(10) = 40 − 1 = 39. Desde n = 3 hasta n = 10 hay 7 saltos de 4: 11 + 7·4 = 11 + 28 = 39. Las dos cuentas coinciden. El paso útil es no sumar de uno en uno los diez términos: o usas la fórmula cerrada o cuentas solo los saltos que faltan. Si te sale 40, te has dejado el −1 o has hecho 10·4 sin restar.
La lista 5, 8, 11, 14 tiene diferencia 3 y primer término 5. Escribe la fórmula y comprueba n = 1, 2 y 3.
a(n) = 5 + (n − 1)·3 = 3n + 2. Comprobación: n = 1 da 5; n = 2 da 8; n = 3 da 11. El paso delicado es el (n − 1): si escribes 5 + 3n, en n = 1 sale 8 y ya no es la lista. Desarrollar 5 + 3n − 3 = 3n + 2 permite comprobar más rápido, pero la forma con saltos explica de dónde sale. Las tres sustituciones son obligatorias antes de usar la fórmula para un n grande.
Miras 2, 4, 8, 16. ¿Sirve una fórmula del tipo an + b? ¿Qué compruebas?
No es aritmética: los saltos son +2, +4 y +8, no son constantes. Una fórmula an + b produce saltos iguales, así que no puede generar esta lista. Se ve al comprobar: si fuerzas el primer salto, de 2 a 4, la diferencia sería 2 y el tercero tendría que ser 6, pero la lista dice 8. El paso es mirar si la diferencia se repite antes de copiar el método de 4n − 1. Aquí el patrón es multiplicar por 2: a(n) = 2ⁿ, y se comprueba 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8.
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
Da 3, 7 y 11. Por qué: 4·1 − 1 = 3, 4·2 − 1 = 7 y 4·3 − 1 = 11, que son los tres primeros términos dibujados. Sin esas tres sustituciones la fórmula es solo una sospecha.
Porque el primer término ya está puesto y no cuenta como salto. Por qué: del lugar 1 al lugar n hay n − 1 huecos. En n = 1 hay 0 saltos y la fórmula devuelve 3. Contar n saltos sumaría un 4 de más.
Porque en n = 1 da 7, no 3. Por qué: comparte la diferencia 4, pero arranca en otro sitio. Una sola comprobación fallida basta para rechazarla; no se «arregla» mirando solo el dibujo del salto.
Inventa una sucesión aritmética de cuatro términos, escribe la fórmula y comprueba n = 1, 2 y 3 en el editor. Dibuja los puntos en el lienzo.
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