1º Bach Matemáticas Generales · CyL Decreto 40/2022 · B.2 Límite desde la variación media
Objetivos
Calcular variaciones medias con un incremento h cada vez menor.
Reconocer a qué número se acercan esos cocientes.
Explicar por qué no se sustituye h = 0 en el cociente.
Encoger el intervalo sin dividir entre cero
En la lección anterior la variación media usaba un intervalo fijo. Aquí el intervalo se encoge alrededor de un punto. Para f(x) = x² miramos el punto x = 2, donde f(2) = 4, y un incremento h distinto de cero. La variación media en [2, 2+h] (o hacia la izquierda si h es negativo) es el cociente (f(2+h) − f(2)) / h.
h = incremento de x, h ≠ 0 · f(2+h) = (2+h)² = 4 + 4h + h² · numerador = 4h + h² · cociente = 4 + h, mientras h ≠ 0 · el límite cuando h tiende a 0 es 4, aunque en h = 0 el cociente no se pueda calcular
La tabla del SVG no es un adorno: son cuatro variaciones medias del mismo punto. Con h = 1 el cociente vale 5, y la secante verde va de (2, 4) a (3, 9), porque de 4 a 9 hay 5 unidades de altura en 1 unidad de ancho. Cuando h baja a 0,5, a 0,1 y a 0,01, el cociente vale 4,5, 4,1 y 4,01. Se acerca a 4.
No podemos meter h = 0 en el cociente: el numerador también se haría 0 y estaríamos dividiendo 0 entre 0, que no tiene sentido. El límite no es «el valor del cociente en 0»; es el número al que los cocientes se acercan cuando h se acerca a 0 sin llegar a serlo. En la próxima lección ese número, 4, se leerá como pendiente de la tangente y como ritmo instantáneo. Aquí basta ver la tabla y la simplificación 4 + h.
h
f(2+h)
f(2+h) − 4
cociente
1
9
5
5
0,5
6,25
2,25
4,5
0,1
4,41
0,41
4,1
0,01
4,0401
0,0401
4,01
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — Las cuatro filas de la tabla
Para f(x) = x² y el punto x = 2, calcula el cociente (f(2+h) − 4) / h con h = 1, h = 0,5, h = 0,1 y h = 0,01.
Con h = 1: f(3) = 9, numerador 9 − 4 = 5, cociente 5/1 = 5. Es la secante verde del gráfico, de (2, 4) a (3, 9).Glosa: pendiente 5 significa 5 unidades de función por cada unidad de x en ese tramo.
Con h = 0,5: 2+h = 2,5 y f = 6,25. Numerador 6,25 − 4 = 2,25. Cociente 2,25/0,5 = 4,5.Glosa: dividir entre 0,5 es multiplicar por 2; 2,25·2 = 4,5.
Con h = 0,1: (2,1)² = 4,41. Numerador 0,41. Cociente 0,41/0,1 = 4,1. Con h = 0,01: (2,01)² = 4,0401, numerador 0,0401, cociente 4,01.Glosa: estas dos filas son las de abajo del SVG; no redondees el cociente a 4 antes de haber dividido.
Los cuatro resultados 5; 4,5; 4,1; 4,01 se acercan a 4. Simplificando en general, el cociente vale 4 + h si h ≠ 0, y 4 + h tiende a 4.Glosa: 4 + h explica la tabla de un vistazo: el cociente es 4 más el propio h.
Ejemplo resuelto 2 — De dónde sale 4 + h
Desarrolla (2+h)² y simplifica el cociente. Di por qué la simplificación exige h distinto de 0.
(2+h)² = 4 + 4h + h². Resta f(2) = 4: queda 4h + h².Glosa: el 4 inicial se cancela; por eso el numerador se hace pequeño cuando h se hace pequeño.
Divide entre h: (4h + h²) / h = 4 + h, sacando factor común h en el numerador: h(4 + h) / h.Glosa: simplificar h/h es válido solo si h ≠ 0. Si h fuera 0, estarías tachando un cero.
Por tanto, mientras h ≠ 0, la variación media es exactamente 4 + h. La tabla cuadra: 4+1 = 5, 4+0,5 = 4,5, 4+0,1 = 4,1, 4+0,01 = 4,01.Glosa: no hace falta rehacer cada cuadrado si ya confías en el álgebra; la tabla sirve de comprobación.
El límite cuando h tiende a 0 de (4 + h) es 4. Ese 4 no se obtiene sustituyendo h = 0 en el cociente original, que quedaría 0/0.Glosa: primero se simplifica en los h permitidos; después se mira a qué valor se acercan.
Ejemplo resuelto 3 — Una función en la que el cociente no se mueve
Para g(x) = 3x, calcula la variación media entre x = 2 y x = 2+h y explica el límite.
g(2) = 6. g(2+h) = 3(2+h) = 6 + 3h. Numerador: 6 + 3h − 6 = 3h.Glosa: en una recta, el incremento de la función es proporcional a h desde el primer momento.
Cociente: 3h / h = 3, para todo h ≠ 0.Glosa: no queda un sumando con h. La variación media es constante.
La tabla sería 3, 3, 3 y 3 para los mismos h de antes. El límite cuando h tiende a 0 también es 3.Glosa: acercarse a 3 es inmediato porque ya estás en 3.
Comparación: en x² el cociente todavía dependía de h (valía 4+h); en 3x no. Las dos situaciones tienen límite, pero solo la recta tiene variación media idéntica en todos los intervalos.Glosa: por eso en la lección 12 la secante de una curva no cuenta toda la historia, y en una recta sí.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. h negativo
Calcula el cociente de f(x) = x² en x = 2 con h = −0,1 y di si también se acerca a 4.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
f(1,9) = 3,61. Numerador 3,61 − 4 = −0,39. Cociente (−0,39)/(−0,1) = 3,9. Con la fórmula simplificada, 4 + h = 4 − 0,1 = 3,9. Está a una décima de 4, por debajo, igual que h = 0,1 dejaba el cociente a una décima por encima (4,1). El paso es no descartar los h negativos: el límite exige acercarse por los dos lados. Aquí por la izquierda también vamos hacia 4, no hacia otro número.
2. Por qué no h = 0
Sustituye h = 0 en (f(2+h) − 4) / h antes de simplificar y explica qué obtienes. Después di qué número describe el límite.
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Con h = 0, f(2+0) − 4 = 0 y el denominador es 0. La expresión 0/0 no es un número: no puedes dividir entre cero. Por eso el cociente, como operación, no está definido en h = 0 y la tabla no tiene esa fila. El límite no rellena esa casilla con una división; mira las filas que sí existen (h = 1, 0,5, 0,1, 0,01, …) y observa que se acercan a 4. Después de simplificar a 4 + h, se ve el mismo hecho sin necesidad de dividir entre cero. El 4 es el límite, no el valor de una fracción con denominador nulo.
3. Lee la secante
La secante del gráfico une (2, 4) y (3, 9). ¿Qué fila de la tabla es y por qué su pendiente no es el límite?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Esa secante corresponde a h = 1, primera fila, cociente 5. La pendiente es (9 − 4)/(3 − 2) = 5, que es una variación media de un intervalo todavía grande. El límite aparece cuando el segundo punto se acerca al primero, es decir cuando h tiende a 0, y los cocientes pasan de 5 a 4,5, a 4,1 y a 4,01. Confundir la pendiente de esta secante concreta con el límite es quedarse en la primera fila de la tabla. El 4 no es la altura del punto (que es 4, casualmente f(2) = 4) ni la pendiente de la secante de h = 1.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Comprueba
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿A qué número se acercan los cocientes de la tabla?
A 4. Por qué: valen 5; 4,5; 4,1 y 4,01, que son 4 + h para esos h. Al encoger h, el sumando h desaparece y el límite es 4. No es la primera fila (el 5), que corresponde al intervalo más ancho.
¿Por qué la tabla no incluye h = 0?
Porque el cociente tendría denominador 0 y numerador 0. Por qué: f(2) − f(2) = 0. La expresión 0/0 no da el límite. El límite se lee en los h distintos de cero, cada vez más pequeños.
En g(x) = 3x, ¿por qué todas las variaciones medias valen 3?
Porque (g(2+h) − g(2)) / h = 3h / h = 3 si h ≠ 0. Por qué: g es una recta de pendiente 3, y en una recta la variación media de cualquier intervalo coincide con la pendiente. No hay un término extra que se apague al hacer h pequeño, a diferencia de x², donde ese término es h.
Reto Profesor
Una fila más
Añade a la tabla el cociente con h = 0,001 para f(x) = x² en x = 2 y escribe a cuántas milésimas está de 4. Dibuja en el lienzo el punto y una secante muy pegada.