Aplicar una comisión y un cambio de divisa sobre la cantidad correcta.
Simple, compuesto, comisión, divisa
El interés es el precio de usar un dinero durante un tiempo. En el interés simple, cada año se calcula sobre el capital inicial y no sobre los intereses ya generados. En el compuesto, el interés de un año se suma al capital y el año siguiente trabaja sobre esa suma.
C = capital inicial · r = tanto por uno anual (3 % es 0,03, no 3) · t = tiempo en años si r es anual · I = interés · montante = C + I · comisión = porcentaje o fijo que se resta o se suma por el servicio
Con C = 2 000 €, r = 0,03 y t = 4 años, el interés simple es 2 000·0,03·4 = 240 € y el montante es 2 240 €. El compuesto anual hace cuatro multiplicaciones por 1,03. El gráfico enseña que los dos crecen igual el primer año (ambos llegan a 2 060) y que a partir del segundo el ámbar se separa, poco a poco, hasta 2 251,01 €.
Una comisión del 0,6 % se calcula sobre la cantidad a la que se refiere el contrato, igual que un porcentaje de la lección anterior. Un cambio 1 € = 1,09 $ multiplica euros por 1,09 para pasar a dólares; para volver, se divide.
Año
Montante simple
Montante compuesto
0
2 000 €
2 000 €
1
2 060 €
2 060,00 €
2
2 120 €
2 121,80 €
3
2 180 €
2 185,45 €
4
2 240 €
2 251,01 €
Gráfico del ejemplo
La figura no es decoración: los trazos corresponden a los números del ejemplo 1.
Ejemplo resuelto 1 — Cuatro años al 3 % simple
Un depósito de 2 000 € al 3 % anual simple durante 4 años. Halla el interés y el montante, y léelos en la barra verde del año 4.
Pasa el 3 % a tanto por uno: r = 0,03. No uses 3 en la fórmula.Glosa: 3 % de 2 000 es 60 €, no 3 € ni 6 000 €.
I = C·r·t = 2 000·0,03·4. Primero 2 000·0,03 = 60 € de interés al año; después 60·4 = 240 €.Glosa: en el simple el interés anual no cambia, por eso las barras verdes crecen a saltos iguales.
Montante = 2 000 + 240 = 2 240 €. Es la altura de la barra verde del último par.Glosa: el montante incluye el capital; el interés solo es la ganancia, 240 €.
Comprueba un año intermedio: a los 2 años el interés es 120 € y el montante 2 120 €, la tercera barra verde (año 2).Glosa: si tu montante del año 2 no es 2 120, has compuesto sin querer o has usado mal r.
Ejemplo resuelto 2 — Los mismos datos, compuestos
Capitaliza 2 000 € al 3 % compuesto anual durante 4 años, año a año, y compara con 2 240 €.
Cada año se multiplica por 1,03, que es el capital más el 3 %. Año 1: 2 000·1,03 = 2 060 €.Glosa: el primer año simple y compuesto coinciden; el gráfico lo enseña.
Año 2: 2 060·1,03. 2 060·1 = 2 060 y 2 060·0,03 = 61,80; total 2 121,80 €.Glosa: el interés de este año es 61,80, no 60, porque la base ya no es 2 000.
Año 3: 2 121,80·1,03 = 2 185,454. La tercera cifra decimal es 4, así que al céntimo queda 2 185,45 €. Año 4: 2 185,45·1,03 = 2 251,0135; la tercera cifra decimal es 3, así que al céntimo queda 2 251,01 € y no 2 251,02.Glosa: redondeamos al cierre de cada año. 2 000·(1,03)^4 ≈ 2 251,0176 y, redondeado solo al final, daría 2 251,02; esa cuenta sin redondeos intermedios no es la de esta tabla.
Diferencia con el simple, ya con el céntimo de cada año: 2 251,01 − 2 240 = 11,01 €. Pequeña en 4 años al 3 %, pero es justo el interés del interés.Glosa: no digas que «casi da igual» sin haber restado; 11,01 € sale de la tabla redondeada año a año, no de mezclar las dos cuentas.
Ejemplo resuelto 3 — Comisión y dólares
Sobre los 2 000 € te cobran una comisión del 0,6 % al abrir el depósito. El resto lo cambias a dólares a 1 € = 1,09 $. ¿Cuántos dólares recibes?
Comisión: 0,006×2 000 = 12 €. No es el 6 % (eso serían 120 €) ni 0,6 €.Glosa: 0,6 % = 0,6/100 = 0,006.
Capital que sí se cambia: 2 000 − 12 = 1 988 €.Glosa: la comisión sale antes del cambio; si la calculas sobre los dólares, es otro contrato.
Dólares: 1 988·1,09. 1 988·1 = 1 988 y 1 988·0,09 = 178,92; total 2 166,92 $.Glosa: multiplicar por 1,09 pasa de euros a dólares con este tipo de cambio.
Comprueba al revés aproximando: 2 166,92 / 1,09 ≈ 1 988 €. Si no vuelves a los euros, el factor está invertido.Glosa: dividir entre 1,09 convierte dólares a euros; no sirvas las dos operaciones a la vez.
Ejercicios
Escribe el razonamiento completo en el editor, no solo la cifra. Si el enunciado pide figura, dibújala en el lienzo de esta misma página.
1. Seis meses simples
2 000 € al 3 % anual simple, pero solo 6 meses. ¿Qué interés corresponde?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
El 3 % del enunciado es anual, y 6 meses son medio año: t = 0,5, no t = 6. I = 2 000·0,03·0,5 = 30 €. El paso que evita el error es pasar el tiempo a años antes de usar r, porque la fórmula supone que r y t hablan la misma unidad. Si pones t = 6 obtienes 360 €, más que el interés de 4 años enteros, lo cual delata que las unidades no casan. Comprueba: un año son 60 €, medio año la mitad.
2. Un año más de compuesto
Partiendo del montante compuesto del año 4 (2 251,01 €), ¿cuál es el montante al acabar el año 5?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
No vuelvas a empezar desde 2 000. El año 5 multiplica el montante del año 4, ya cerrado al céntimo, por 1,03: 2 251,01·1,03. Calcula 2 251,01·0,03 = 67,5303 y suma 2 251,01 + 67,5303 = 2 318,5403. La tercera cifra decimal es 0, así que al céntimo queda 2 318,54 €. El paso propio del compuesto es usar como base lo ya acumulado, con el mismo redondeo de cierre de año. El simple sumaría otros 60 € y llegaría a 2 300 €. La diferencia sigue creciendo: 2 318,54 − 2 300 = 18,54 €.
3. Tipo de cambio inverso
Te dan 327 $ y el cambio sigue siendo 1 € = 1,09 $. ¿Cuántos euros son, antes de comisiones?
Por qué (abre cuando hayas escrito)
Para pasar de dólares a euros divides entre 1,09, no multiplicas. 327 / 1,09 = 300 € exactos, porque 300·1,09 = 327. El paso es decidir la dirección del tipo: el número 1,09 dice cuántos dólares vale un euro, así que los dólares son la unidad grande y hay que dividir para recuperar euros. Multiplicar 327·1,09 daría unos 356 $, que ni siquiera son euros. Comprueba siempre con la multiplicación inversa.
Dibuja en el lienzo
Reproduce a mano el gráfico del ejemplo: ejes o nodos, los datos numéricos y una frase con la conclusión. El botón borra el lienzo sin salir de la lección.
Comprueba
Tres preguntas. Responde mentalmente antes de abrir el porqué.
¿Por qué el primer año las dos barras coinciden?
Porque el primer interés se calcula en los dos modelos sobre los mismos 2 000 €: 60 €, y ambos montantes son 2 060. Por qué: la diferencia del compuesto aparece cuando el segundo interés usa 2 060 como base y da 61,80 en vez de 60. Antes de eso no hay «interés del interés».
¿Qué error produce usar r = 3 en I = C·r·t?
Multiplica el interés por 100. Por qué: 3 % es 0,03 en tanto por uno. Con r = 3, I = 2 000·3·4 = 24 000 €, un montante imposible para este depósito. El gráfico se queda alrededor de 2 250 € precisamente porque r es 0,03.
La comisión del 0,6 % sobre 2 000 €, ¿son 0,60 €?
No: son 12 €. Por qué: 0,6 % de 2 000 es 0,006×2 000 = 12. Leer 0,6 como 0,60 euros olvida que un porcentaje necesita una base. 0,60 € sería el 0,6 % de 100 €, no de 2 000.
Reto Profesor
Tu depósito imaginario
Elige un capital, un tipo anual y 3 años. Calcula el montante simple y el compuesto del último año y dibuja en el lienzo tres pares de barras.