Les vencimos

Matemáticas Aplicadas a las CCSS I · 1º Bachillerato

Lección 29 · B.1 y D.2 · Incertidumbre

Probabilidad, frecuencia y Laplace

1º Bach CCSS · CyL Decreto 40/2022 · B.1 Medida de la incertidumbre · D.2

Objetivos

Frecuencia y Laplace

frec. relativa = veces que ocurrió / veces que se repitió el experimento.

El numerador cuenta solo el suceso que te interesa; el denominador es el número de repeticiones, no el número de resultados posibles del modelo. La frecuencia estima la probabilidad y no tiene por qué coincidir con ella en una serie corta.

P(A) = casos favorables / casos posibles, si todos los casos posibles son igual de probables.

A es el suceso; los casos son resultados elementales equiprobables, no etiquetas gruesas. Si juntas resultados que no pesan lo mismo, Laplace no se aplica a esas etiquetas.
Árbol de dos extracciones sin reemplazo entre tres bolas, dos rojas y una azul inicio R 2/3 A 1/3 R 1/2 A 1/2

Ejemplo 1. Una urna, Laplace directo

5 bolas rojas, 3 azules, 2 verdes. Se extrae una al azar. Total 10, y el sorteo no favorece a ninguna bola.

  1. P(roja) = 5/10 = 1/2.
  2. P(no verde) = 8/10 = 4/5.
  3. P(verde) = 2/10 = 1/5. Suma con la anterior: 4 / 5 = 4/5
    1 / 5 = 1/5
    4/5 + 1/5 = 1, como debe ser en complementarios.

P(roja) = 5/10.

5 es el número de bolas rojas, los casos favorables; 10 es el número de bolas, los casos posibles equiprobables.

Si en 40 sorteos con reemplazo la roja sale 22 veces, la frecuencia relativa es 22/40 = 0,55. No contradice a 1/2: 40 tiradas son pocas para que la frecuencia se pegue al valor. La frecuencia es una estimación; 1/2 es la probabilidad del modelo simétrico.

Ejemplo 2. Recuento con combinaciones y con árbol

Se elige un equipo de 2 personas entre A, B, C y D, al azar, sin orden. Los pares son AB, AC, AD, BC, BD, CD: son C(4, 2) = 6, y el sorteo los trata igual.

  1. P(A está en el equipo) = 3/6 = 1/2, porque A aparece en AB, AC y AD.
  2. También C(3, 1)/C(4, 2) = 3/6: se elige al compañero de A entre los otros tres.

Segundo recuento, ahora ordenado. Bolsa con bolas distinguibles R1, R2 y A. Se extraen dos sin devolución. El árbol de la figura, o la lista, da 3·2 = 6 resultados ordenados equiprobables: R1R2, R2R1, R1A, AR1, R2A, AR2.

  1. Los dos rojos son solo R1R2 y R2R1: 2 de 6.
  2. Por el árbol: (2/3)·(1/2) = 1/3. Y 2/6 = 1/3. Cuadra.
  3. Tratar «dos rojos» y «mezcla» como si fueran dos casos iguales sería falso: la mezcla pesa más.

P(dos rojas) = (2/3)·(1/2) = 1/3.

2/3 es la probabilidad de roja en la primera extracción; 1/2 es la probabilidad de la otra roja sabiendo que la primera ya salió y no se devolvió; el producto recorre esa rama del árbol.

Ejercicios

1. Frecuencia

En 200 repeticiones el suceso aparece 50 veces. Escribe la frecuencia relativa y qué no demuestra.

Corrección
  1. 50/200 = 1/4
    1/4 = 0,25.
  2. Es una estimación de la probabilidad a partir de lo observado.
  3. No demuestra que la probabilidad sea exactamente 1/4: otra tanda de 200 puede dar otro numerador.
  4. Si el experimento fuera una moneda justa, 1/4 sería una racha baja, no una redefinición de la moneda.

La frecuencia relativa usa los datos. La probabilidad del modelo, si lo hay, es otra pieza. Igualarlas tras una sola serie es confundir estimación y valor teórico.

2. Un delegado

En un grupo hay 12 chicos y 18 chicas. Se sortea un delegado de modo que cada persona tiene la misma probabilidad. Calcula P(chica).

Corrección
  1. Casos posibles: 12+18 = 30 personas.
  2. Favorables: 18.
  3. P = 18/30
    18/30 = 3/5.
  4. Laplace vale porque el sorteo es entre personas, no entre las etiquetas «chico» y «chica», que no son equiprobables.

Si alguien divide 1/2 porque «hay dos sexos», está aplicando Laplace a casos que no pesan igual. El caso elemental es la persona.

3. Parejas de ingredientes

Hay cuatro ingredientes A, B, C, D. Se eligen dos al azar, sin orden y sin repetición. Calcula la probabilidad de que A esté entre los elegidos.

Corrección
  1. C(4, 2) = 6 pares: AB, AC, AD, BC, BD, CD.
  2. A está en tres de ellos.
  3. P = 3/6
    3/6 = 1/2.
  4. Lista y fórmula coinciden.

El total no es 4·3 = 12, porque ese recuento ordena y aquí el equipo {A, B} es el mismo que {B, A}. Si se usara el recuento ordenado habría que usarlo también en el numerador: 6 favorables de 12, y otra vez 1/2.

4. Sin reemplazo

De tres bolas distinguibles, dos rojas y una azul, se extraen dos sin devolución. Calcula P(las dos rojas) por árbol y por lista.

Corrección
  1. Primera roja: 2/3. Segunda roja, dado eso: 1/2.
  2. Producto: 1/3.
  3. Lista de 6 extracciones ordenadas: solo 2 son las dos rojas. 2/6 = 1/3.
  4. Coinciden. No se usa 1/2 por «o las dos rojas o no».

Sin devolución las probabilidades de la segunda extracción cambian. El árbol lo registra en la segunda rama; la lista de permutaciones lo registra al no repetir bola.

Cierre

Pregunta siempre cuál es el caso elemental y si todos pesan lo mismo. Si no pesan igual, no uses Laplace sobre las etiquetas gruesas: baja al árbol o a la lista. La frecuencia relativa de una serie finita estima; no sustituye al recuento cuando el mecanismo es simétrico y conocido.