Leer frecuencias conjuntas, marginales y condicionadas, y decidir si hay dependencia.
Calcular el coeficiente de correlación lineal r y el coeficiente de determinación R², predecir con la recta y decir si esa predicción es fiable.
Juzgar a ojo si un ajuste lineal es razonable o si la nube pide una cuadrática. Separar correlación de causalidad.
Tabla conjunta
Veinte estudiantes. Filas: cursa el idioma de refuerzo o no. Columnas: aprueba o no.
Aprueba
No aprueba
Total
Idioma sí
8
2
10
Idioma no
3
7
10
Total
11
9
20
La conjunta es la tabla interior (8, 2, 3, 7). La marginal del idioma es 10 y 10 sobre 20. La marginal de aprobar es 11/20 = 0,55. La condicionada de aprobar sabiendo que sí hay idioma es 8/10 = 0,8. Sabiendo que no hay idioma, 3/10 = 0,3. Como 0,8 y 0,3 no coinciden con 0,55 ni entre sí, las variables no son independientes en esta tabla. Eso no dice que el idioma cause el aprobado: puede que quien ya iba bien elija el refuerzo.
P(aprueba | idioma sí) = 8/10 = 0,8.
8 es la frecuencia conjunta de «sí» y «aprueba»; 10 es la marginal de «idioma sí», el nuevo total; 0,8 es la proporción condicionada, no la conjunta 8/20.
Regresión lineal, cuentas revisadas
Horas de estudio x y nota y en cinco personas: (1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 4), (5, 6).
El numerador es la suma de productos de desviaciones, aquí 9. Cada suma de cuadrados vale 10. r no tiene unidades. r² es la fracción de la variación de y asociada linealmente con x, aquí no una causa.
10 · 10 = 100
√100 = 10
9 / 10 = 0,9
r = 0,9.
r² = 0,81. El 81 % de la variabilidad de estas cinco notas, medida por la suma de cuadrados, queda asociada a la recta. El otro 19 % son residuos.
Pendiente b = 9/10 = 0,9. Ordenada a = ȳ − b x̄.
b · x̄ = 0,9 · 3 = 2,7
a = 4 − 2,7 = 1,3.
Recta: ŷ = 1,3 + 0,9x. En x = 1 predice 2,2 (dato 2). En x = 3 predice 4 (dato 5). En x = 5 predice 5,8 (dato 6).
Coeficiente de correlación lineal r
10 · 10 = 100
√100 = 10
9 / 10 = 0,9
r = 0,9. No tiene unidades. Está entre −1 y 1. El signo positivo dice que, en estos cinco pares, la nota tiende a subir cuando suben las horas. 0,9 está cerca de 1: la relación lineal de esta nube es fuerte. No dice que las horas causen la nota.
r = 0,9.
r es el coeficiente de correlación lineal de Pearson de estos cinco pares; 0,9 es 9 partido por 10, las dos sumas de cuadrados.
Coeficiente de determinación R²
En una recta con una sola variable explicativa, el coeficiente de determinación es el cuadrado de r.R² = r²
r² = 0,81. De la suma de cuadrados de las notas (10), la recta recoge el 81 %. El 19 % restante son residuos: en x = 3 la recta predice 4 y el dato es 5, residuo 1, el mayor de la tabla.
R² = 0,81.
R² es el coeficiente de determinación; 0,81 es 0,9 al cuadrado; no es una probabilidad ni un porcentaje de personas, es la fracción de la variación de y asociada a la recta.
Predicción y fiabilidad
Dentro de las horas observadas, de 1 a 5, la predicción ŷ = 1,3 + 0,9x es usable como descripción de esta nube: r = 0,9 y R² = 0,81 son altos, y la nube no se dobla en U. No es fiable como ley para otros estudiantes. Solo hay cinco pares, no un censo ni una muestra diseñada. Fuera del intervalo, por ejemplo x = 6, ŷ = 6,7 es una extrapolación: R² no la cubre. Y ni el mejor ajuste demostraría que estudiar causa la nota.
La nube de estos cinco pares
Puntos crema: (1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 4), (5, 6). Recta ámbar: ŷ = 1,3 + 0,9x. Es esta nube, no una recta genérica.
A ojo la nube sube y no dobla siempre hacia el mismo lado: sube, da un salto en x = 3, baja en x = 4 y vuelve a subir. No hay una parábola clara. El ajuste lineal es el razonable. Forzar una cuadrática con cinco puntos casi siempre reduce residuos y no demuestra una ley curva.
ŷ = 1,3 + 0,9x.
ŷ es la nota que predice la recta, no la nota observada; 1,3 es la ordenada en x = 0, fuera de los datos (las horas van de 1 a 5); 0,9 es el aumento de nota predicho por cada hora extra.
Cuando la recta no toca y la parábola sí
Puntos (0, 4), (1, 1), (2, 0), (3, 1), (4, 4), que son y = (x − 2)².
r = 0 / √(10·14)
0 / √(10·14) = 0. La recta de mínimos cuadrados es la horizontal ŷ = 2, inútil para predecir.
A ojo se ve una U. La cuadrática y = (x − 2)² pasa por los cinco puntos. El juicio gráfico manda: no se usa la recta.
r = 0 no significa «no hay relación». Significa «no hay relación lineal». Y aunque aquí la U es perfecta, encajar una curva no demuestra que una variable cause la otra.
Lienzo de la recta 0,9
Puntos crema: los cinco datos. Recta ámbar: ŷ = 1,3 + 0,9x. Pulsa para marcar otro punto y ver el residuo respecto de la recta.
Pulsa para marcar un punto.
Ejercicios
1. Condicionada
En esta tabla, ¿son independientes A y B? B1 y B2 son columnas; A1 y A2, filas. Frecuencias: A1-B1 = 4, A1-B2 = 6, A2-B1 = 5, A2-B2 = 5.
0,4 ≠ 0,45. No son independientes. La diferencia es pequeña: dependencia débil en esta tabla, no una relación fuerte.
Independencia exigiría que cada condicionada coincidiera con la marginal. No coincide, aunque 0,4, 0,45 y 0,5 estén cerca. Cerca no es igual.
2. Predecir con la recta de la lección
Con ŷ = 1,3 + 0,9x, predice la nota si x = 6. ¿Es interpolación?
Corrección
0,9 · 6 = 5,4.
ŷ = 1,3 + 5,4 = 6,7.
Las horas observadas van de 1 a 5. x = 6 está fuera: extrapolación.
r² = 0,81 habla del ajuste dentro de la nube, no de una hora que no se ha visto. Además estudiar no es la causa única de la nota.
6,7 sale de la recta sin redondeos ocultos: 1,3 + 5,4 = 6,7. Usarla como pronóstico de un estudiante de 6 horas alarga el modelo más allá de los datos.
3. Alineados
Puntos (0, 1), (1, 3), (2, 5). Calcula r y la recta.
r = 1 solo sale si los puntos están en una recta creciente, como aquí: 1, 3 y 5. No queda residuo. Sigue sin ser una prueba de causalidad: tres puntos alineados pueden ser una coincidencia de un censo diminuto.
4. La V
Puntos (0, 0), (1, 1), (2, 0). Calcula r y decide a ojo el modelo.
r = 0. A ojo es una V, y la parábola y = 2x − x² pasa por los tres: en 0 vale 0, en 1 vale 1, en 2 vale 0. Se prefiere la cuadrática. Con tres puntos, el ajuste exacto no demuestra una ley social.
r = 0 otra vez no significa ausencia de patrón. El patrón es curvo y simétrico, y la covarianza se cancela. La recta horizontal en la media 1/3 no sigue a los puntos.
Cierre
La tabla da la conjunta, la marginal y la condicionada. r es el coeficiente de correlación lineal; R², el coeficiente de determinación. La predicción es fiable solo dentro de esta nube y como descripción lineal, no como causa ni como ley fuera de los datos: esa es su fiabilidad. Si la nube se dobla, la recta no se usa.