Les vencimos

Matemáticas Aplicadas a las CCSS I · 1º Bachillerato

Lección 24 · C.4 · Operaciones

Operaciones, composición e inversa

1º Bach CCSS · CyL Decreto 40/2022 · C.4 Operaciones, composición e inversa

Objetivos

Definiciones en este problema

Trabajamos con f(x) = 2x + 3 y g(x) = x − 5. Ambas tienen dominio ℝ.

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
f(x) + g(x) = 3x − 2.

f(x) es 2x + 3; g(x) es x − 5; la suma junta términos semejantes: 2x + x = 3x y 3 − 5 = −2.

(f ∘ g)(x) = f(g(x))
f(g(x)) = 2(x − 5) + 3
2(x − 5) + 3 = 2x − 7.

g(x) entra como input de f; el 2 y el 3 son los de f; el 5 es el que resta g. El orden importa.

(g ∘ f)(x) = g(f(x))
g(f(x)) = (2x + 3) − 5
(2x + 3) − 5 = 2x − 2.

Ahora el input de g es la salida de f. El resultado 2x − 2 no coincide con 2x − 7: la composición no es conmutativa.
Reflexión respecto de y = x: el punto (1, 5) de f pasa a (5, 1) en la inversa (1, 5) en f (5, 1) en f⁻¹ y = x

Ejemplo 1. Las dos composiciones en x = 4

  1. (f ∘ g)(x) = 2x − 7, así (f ∘ g)(4) = 8 − 7 = 1.
  2. Por dentro: g(4) = −1,2 · (−1)
    −1,2 · (−1) = −2
    −2 + 3 = 1
    f(−1) = 1. Cuadra.
  3. 2 · 4 = 8
    8 − 2 = 6
    (g ∘ f)(4) = 6. Por dentro: f(4) = 11, g(11) = 6.
  4. (f · g)(4) = f(4)·g(4)
    f(4)·g(4) = 11·(−1)
    11·(−1) = −11. No es una composición.

Ejemplo 2. Inversa y reflexión

  1. y = 2x + 3 se despeja: x = (y − 3)/2. Se intercambian nombres: f⁻¹(x) = (x − 3)/2.
  2. Comprobación: f(f⁻¹(x)) = 2·(x − 3)/2 + 3
    2·(x − 3)/2 + 3 = x − 3 + 3
    x − 3 + 3 = x.
  3. f(1) = 5, luego (1, 5) está en f y (5, 1) está en f⁻¹. La recta y = x es la mediatriz del segmento que une esos dos puntos: el punto medio es ((1+5)/2, (5+1)/2) = (3, 3), que cae en y = x.
  4. Dominio y recorrido de esta f y de su inversa son ℝ. Si la función de partida no es biyectiva, hay que restringir el dominio antes de hablar de inversa. Ejemplo: x² en todo ℝ no tiene inversa; x² con x ≥ 0 sí, y la inversa es √x.

f⁻¹(x) = (x − 3)/2.

x aquí es el valor de salida de f, que pasa a ser la entrada de la inversa; 3 es el término independiente de f; 2 es la pendiente de f, que en la inversa queda como divisor.

Ejercicios

1. Orden

Con f(x) = 2x + 3 y g(x) = x − 5, calcula (f ∘ g)(4) y (g ∘ f)(4).

Corrección
  1. 2 · 4 = 8
    8 − 7 = 1
    (f ∘ g)(4) = 1.
  2. 2 · 4 = 8
    8 − 2 = 6
    (g ∘ f)(4) = 6.
  3. No coinciden.
  4. g(4) = −1 y f(−1) = 1 confirman la primera.

Aplicar primero g y luego f no es lo mismo que primero f y luego g. La resta de 5 ocurre en momentos distintos y por eso los resultados 1 y 6 se separan.

2. Volver

Calcula f⁻¹(7) y comprueba con f.

Corrección
  1. f⁻¹(x) = (x − 3)/2.
  2. 7 − 3 = 4
    4 / 2 = 2
    f⁻¹(7) = 2.
  3. f(2) = 4 + 3
    4 + 3 = 7.
  4. La inversa deshace exactamente ese valor.

Si f⁻¹(7) no volviera a 7 al aplicar f, el despeje estaría mal. Aquí 2 es el único antecedente porque la pendiente 2 no es cero.

3. Suma y producto en un punto

Calcula (f + g)(3) y (f · g)(3).

Corrección
  1. f(3) = 9, g(3) = −2.
  2. Suma: 9 + (−2) = 7. También 3 · 3 = 9
    9 − 2 = 7.
  3. Producto: 9·(−2) = −18.
  4. La suma 7 no es el producto. Son operaciones distintas.

En x = 3, g es negativa. El producto cambia de signo aunque la suma siga siendo positiva. Conviene calcular cada función por separado antes de operar.

4. ¿Está en la inversa?

f pasa por (1, 5). ¿El punto (1, 5) está también en la inversa? ¿Cuál es su reflejo?

Corrección
  1. 1 − 3 = −2
    (−2) / 2 = −1
    f⁻¹(1) = −1, no 5. Así (1, 5) no está en la inversa.
  2. El reflejo respecto de y = x es (5, 1).
  3. 5 − 3 = 2
    2 / 2 = 1
    f⁻¹(5) = 1, luego (5, 1) sí está en la inversa.
  4. Solo los puntos de la recta y = x quedan fijos al reflejar.

Pertenecer a la gráfica de f significa «este input da esta output». En la inversa los papeles se cambian. (1, 5) dice que f(1) = 5; no dice que f⁻¹(1) = 5.

Cierre

Escribe el orden de la composición con un paréntesis de verdad, despeja la inversa intercambiando los papeles y comprueba un punto reflejado en y = x. Si f no es biyectiva, di primero en qué conjunto sí lo es.