Les vencimos

Matemáticas Aplicadas a las CCSS I · 1º Bachillerato

Lección 21 · C.4 · Representación

Gráficas y transformaciones lineales

1º Bach CCSS · CyL Decreto 40/2022 · C.4 Representación y transformaciones

Objetivos

Qué hace cada letra

g(x) = a·f(x) + b

f es la función de partida; a multiplica las ordenadas (estiramiento, y volteo si a es negativo); b sube o baja la gráfica b unidades; x es la misma abscisa: el punto no se mueve a izquierda ni derecha.

h(x) = f(x − c)

c es el desplazamiento horizontal. Si c > 0, la gráfica de f se corre a la derecha c unidades: el valor que antes salía en t sale ahora en t + c.

Un punto (t, f(t)) de la gráfica original pasa a (t, a·f(t)+b) con la primera transformación, y a (t+c, f(t)) con la segunda. No son la misma operación: y = 3f(x) e y = f(3x) solo coinciden en casos muy especiales.

Parábola y = x al cuadrado y la trasladada y = (x − 1) al cuadrado y = x² y = (x−1)²

Ejemplo 1. Parábola

f(x) = x². El punto (2, 4) está en la gráfica porque 2² = 4.

  1. g(x) = 2f(x) + 1
    2f(x) + 1 = 2x² + 1. La abscisa 2 se queda: ordenada 2 · 4 = 8
    8 + 1 = 9. Punto imagen (2, 9).
  2. h(x) = f(x − 1)
    f(x − 1) = (x − 1)². El punto se corre a la derecha 1: (3, 4). Comprobación: 3 − 1 = 2
    2 · 2 = 4.
  3. No confundir con f(x) − 1 = x² − 1, que en x = 2 vale 3, no 4.

g(x) = 2x² + 1,   h(x) = (x − 1)².

El 2 es el estiramiento vertical a; el 1 que se suma es b; el 1 que se resta dentro de h es c, el corrimiento a la derecha.

Ejemplo 2. Demanda lineal

Un puesto vende d(p) = 20 − 2p unidades cuando el precio es p euros, con 0 ≤ p ≤ 10 para que la demanda no sea negativa.

  1. d(3) = 20 − 6
    20 − 6 = 14.
  2. La demanda «corrida» d(p − 1) = 20 − 2(p − 1) = 22 − 2p. Es f(x − c) con c = 1: a cada precio nuevo le corresponde lo que antes correspondía a un euro menos.
  3. dnueva(3) = 22 − 6 = 16, dos unidades más que 14. El modelo se ha desplazado a la derecha: hace falta un precio mayor para la misma demanda.
  4. En cambio 2·d(p) = 40 − 4p duplica cantidades y no desplaza el eje de precios.

d(p) = 20 − 2p, con 0 ≤ p ≤ 10.

p es el precio en euros; 20 es la demanda si el bien fuera gratis; 2 es cuántas unidades se pierden por cada euro de subida; d(p) es la cantidad demandada.

Marca puntos en el lienzo

La curva ámbar o crema es la función activa. Pulsa para dejar una marca y leer sus coordenadas aproximadas. Cambia de transformación y compara.

Aún no has marcado ningún punto.

Ejercicios

1. Imagen de un punto

f(x) = x² tiene el punto (2, 4). ¿Qué punto corresponde en y = f(x − 1)?

Corrección
  1. y = f(x − c) con c = 1 desplaza la gráfica a la derecha 1 unidad.
  2. La ordenada se conserva y la abscisa suma 1: (3, 4).
  3. Comprobación: f(3 − 1) = f(2)
    f(2) = 4.

El número que se resta dentro del paréntesis no resta ordenadas. Resta a la abscisa de la fórmula, y por eso la gráfica se corre hacia el lado opuesto, a la derecha.

2. Estirar y subir

El mismo punto (2, 4) de f(x) = x². Calcula su imagen en y = −f(x) + 2.

Corrección
  1. a = −1 voltea la ordenada: −4.
  2. b = 2 la sube: −4 + 2 = −2.
  3. La abscisa no cambia: (2, −2).
  4. Comprobación directa: 2 · 2 = 4
    −4 + 2 = −2.

El signo de a refleja respecto del eje horizontal antes de sumar b. Si primero sumas 2 y luego cambias el signo, obtienes −(4+2) = −6, que es otra función: −(f(x)+2).

3. Demanda desplazada

Con d(p) = 20 − 2p, calcula d(4) y d(4 − 1), e interpreta la diferencia.

Corrección
  1. d(4) = 20 − 8
    20 − 8 = 12.
  2. d(3) = 20 − 6
    20 − 6 = 14, que es exactamente dnueva(4) si dnueva(p) = d(p − 1).
  3. La diferencia es 2 unidades: al desplazar el precio una unidad a la derecha, en p = 4 se vende lo que antes se vendía a 3 euros.

14 − 12 = 2 coincide con la pendiente cambiada de signo: cada euro menos de precio recupera 2 unidades. Por eso el corrimiento horizontal de 1 euro suma 2 a la demanda.

4. 3f(x) no es f(3x)

Para f(x) = x² compara 3f(1) y f(3·1).

Corrección
  1. 1 · 1 = 1
    3 · 1 = 3
    3f(1) = 3.
  2. f(3) = 9.
  3. No son iguales. y = 3f(x) = 3x² estira en vertical; y = f(3x) = 9x² comprime en horizontal y, en una parábola, el efecto numérico es otro.
  4. Para f(x) = x sí coincidirían: 3x y f(3x) = 3x. La coincidencia no se hereda.

Meter el 3 dentro o fuera no es intercambiable salvo que f sea lineal homogénea. En x² el 3 interior se eleva al cuadrado y pasa a 9.

Cierre

a y b actúan sobre las ordenadas; c, escrito como f(x − c), actúa sobre las abscisas. Traduce siempre un punto concreto antes de describir «la gráfica se mueve».