El apartado de derivadas elementales del bloque B.2 recoge lo que se usa una y otra vez en modelos de coste, ingreso y población. Cada regla es un límite ya calculado. La letra que deriva es la variable; los números escritos son constantes y salen de la derivada cuando están solos.
(c)' = 0
c es una constante, un número que no depende de la variable. Su gráfica es horizontal, así que la tasa de cambio es 0. Un coste fijo de 20 euros, solo, no cambia al variar la producción.
(xn)' = n · xn − 1
x es la variable; n es el exponente, un número fijo; n − 1 es el nuevo exponente. Así (x2)' = 2x y (x4)' = 4x3. La derivada de x, que es x1, es 1.
(u + v)' = u' + v' y (k · u)' = k · u'
u y v son funciones de la misma variable; u' y v' son sus derivadas; k es una constante que multiplica, y sale fuera. Sumar funciones suma sus ritmos de cambio.
(u · v)' = u' · v + u · v'
u y v son los dos factores; no basta con multiplicar las derivadas. Cada factor «se deriva por turno» y el otro se queda como está. El orden de la suma no importa.
(u / v)' = (u' · v − u · v') / v2
u es el numerador; v es el denominador, que no puede ser cero en el punto que te interesa; el cuadrado del denominador queda abajo; el signo menos hace que el orden sí importe, al revés que en el producto.
[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)
g(x) es la expresión de dentro; f es la función de fuera; primero se deriva la de fuera dejando dentro lo que había, y se multiplica por la derivada de dentro. En este curso la cadena es sencilla: dentro suele haber una expresión lineal, una potencia o un exponente simple.
(ex)' = ex y (ln x)' = 1 / x, con x > 0
ex es la exponencial de base e; su derivada es ella misma. ln x es el logaritmo natural, solo definido para x positivo; su derivada es el inverso de x, no el inverso del logaritmo. Si el exponente o el argumento no es la x pelada, entra la cadena: (e3x)' = 3e3x y (ln(3x + 6))' = 3 / (3x + 6).
La recta tangente en x = a usa dos datos: el punto (a, f(a)) y la pendiente f'(a).
y − f(a) = f'(a) · (x − a)
a es la abscisa del punto de tangencia; f(a) es la ordenada, el valor de la función; f'(a) es la pendiente, que en un coste es el coste marginal en a; x e y son las coordenadas de un punto cualquiera de la recta, no solo del punto de tangencia.
El coste de producir q unidades, en euros, es C(q) = q2 + 5q + 20. Se pide C'(q), el coste marginal en q = 4 y la recta tangente en ese punto.
C'(q) = 2q + 5 y y − 56 = 13(q − 4)
C es el coste en euros; q es el número de unidades; 2q viene de la potencia; 5 es la derivada del término lineal; 20 era el coste fijo y ya no está en C'; 56 es C(4); 13 es C'(4); y es el valor de la recta tangente, que no es el coste salvo en q = 4.
Comprobación rápida de que la recta no es la curva: en q = 5 la recta vale 13 · 5 = 65
65 + 4 = 69, y el coste vale 25 + 25 = 50
50 + 20 = 70. Se tocan en q = 4 (la recta también da 13 · 4 = 52
52 + 4 = 56) y se separan al lado. Como la parábola es cóncava hacia arriba, el coste queda por encima de la tangente.
Primero un producto que se puede contrastar expandiendo. Sea u(x) = x y v(x) = x + 3, de modo que el producto es x(x + 3) = x2 + 3x.
(x · (x + 3))' = 2x + 3
x es el primer factor y también la variable; x + 3 es el segundo factor; 2x + 3 es la derivada del producto, no el producto de las derivadas (que sería 1 · 1 = 1, y es falso).
La exponencial y el logaritmo, en puntos donde el número sale limpio. La derivada de ex en x = 0 es e0 = 1, y la función también vale 1, así que la tangente es y − 1 = 1 · (x − 0), o sea y = x + 1. La derivada de ln x en x = 1 es 1 / 1 = 1, y ln 1 = 0, así que la tangente es y − 0 = 1 · (x − 1), o sea y = x − 1. No hace falta un valor decimal de e ni de ln 2 para escribir esas dos rectas.
Cadena mínima, para dejarla vista: (e3x)' = e3x · 3
e3x · 3 = 3e3x. En x = 0 la derivada vale 3 y la función vale 1. Tangente: y − 1 = 3x, es decir y = 3x + 1.
Deriva 7, deriva x4 y deriva 3x2 − 5x + 1. Evalúa la tercera derivada en x = 2.
La constante desaparece, el coeficiente 3 multiplica a la derivada de x2 y no se deriva, y −5x aporta −5. Sustituir x = 2 se hace después de derivar, no antes: derivar el número 3·4 − 5·2 + 1 no tiene sentido.
Sea f(x) = (x + 1) / (x − 1), con x ≠ 1. Calcula f'(x) y f'(3). Comprueba el signo con el contexto: al pasar de 3 a un poco más, ¿la fracción sube o baja?
El cuadrado del denominador no puede cambiar el signo. Toda la información del signo está en el numerador −2. Por eso no hace falta mirar la gráfica para saber que, fuera de x = 1, esta fracción es decreciente.
Deriva ln(3x + 6), indica para qué x existe, y calcula la derivada en x = 1. Escribe la tangente si sabes que ln 9 es el valor de la función... no lo necesitas numérico: deja la ordenada como ln 9.
La cadena multiplica por la derivada del argumento, que es 3, y ese 3 se cancela con el 3 del argumento solo después, al simplificar. Olvidar el 3 dejaría 1 / (3x + 6), que en x = 1 vale 1/9 y no 1/3.
Deriva (2x + 1)2 con la cadena y, para comprobar, expandiendo. Evalúa función y derivada en x = 1, y escribe la tangente.
El 2 de fuera de la cadena es el exponente que baja, y el otro 2 es la derivada de 2x + 1. Si solo bajas el exponente y escribes 2(2x + 1), te falta la derivada de dentro y el resultado no cuadra con 8x + 4.
Deriva con la regla que toca, simplifica y solo después sustituye el punto. La pendiente de la tangente es esa derivada. En un coste, esa pendiente es el coste marginal: no es el coste del punto, es su ritmo de cambio.