El bloque B.2 define la derivada a partir del cambio en contextos de las ciencias sociales. No empezamos por una tabla de reglas: empezamos por una pregunta. Si el beneficio, la población o el precio dependen de una variable, ¿cuánto cambian cuando esa variable da un paso, y qué pasa si el paso se hace minúsculo?
Entre dos valores x y x + h, con h ≠ 0, la tasa de variación media es el cambio de la función partido por el cambio de la variable. Es la pendiente de la recta que une los dos puntos de la gráfica. En un beneficio medido en euros y una producción medida en unidades, la unidad de esa tasa es euros por unidad.
TVM = [f(x + h) − f(x)] / h
f es la magnitud que cambia (beneficio, población o precio); x es el valor de partida de la variable; h es el incremento, que puede ser positivo o negativo pero no cero; f(x + h) − f(x) es cuánto ha cambiado la magnitud; el cociente es el cambio medio por cada unidad de incremento.
Ese cociente todavía depende de h. Si al hacer h cada vez más pequeño el cociente se acerca a un número, ese número es la derivada de f en x. Se escribe f'(x). Es la tasa de variación instantánea.
f'(x) = lim (h → 0) [f(x + h) − f(x)] / h
f'(x) es la derivada en el punto x; h es el incremento que se acerca a 0; el corchete es el mismo cociente incremental de la tasa media; el límite se queda con lo que ese cociente tiene de estable cuando el tramo desaparece.
El signo se lee en el contexto. Si f' es positiva, la magnitud crece en ese punto: un euro más de beneficio marginal, un habitante más por año. Si es negativa, decrece: el precio baja cuando sube la cantidad, por ejemplo. Si es cero, el cambio instantáneo es nulo; en un beneficio, suele ser un candidato a máximo o a mínimo, que se confirmará con más datos del alrededor. Cero no dice, por sí solo, si es cima o valle.
En una función lineal, la tasa media es la misma en todos los tramos y coincide con la derivada. En una cuadrática, la tasa media todavía depende de lo largo que sea h, y solo el límite la fija en el punto.
El esquema resume la parábola del beneficio, una secante verde (tasa media entre dos puntos) y la tangente ámbar (la derivada en el punto). Cuando el segundo punto de la secante se acerca al primero, la secante se echa encima de la tangente. El lienzo de más abajo repite esas tres piezas a escala.
Una cooperativa estima el beneficio, en euros, al vender x unidades con B(x) = 20x − x2, para x entre 0 y 20. Queremos la tasa instantánea en x = 6, no la media de un mes entero.
[B(6 + h) − B(6)] / h = 8 − h y B'(6) = 8
B es el beneficio en euros; 6 es el número de unidades en el que medimos; h es el incremento de unidades; 8 − h es la tasa media en ese tramo, en euros por unidad; 8 es la derivada, euros extra de beneficio por una unidad adicional en ese instante, antes de que la propia venta cambie la tasa.
Comprueba dos tramos. Si h = 0,1, la tasa media es 7,9. En efecto B(6,1) = 122 − 37,21 = 84,79 y 84,79 − 84 = 0,79
0,79 / 0,10 = 7,9. Si h = −0,1, la tasa media es 8,1: B(5,9) = 118 − 34,81 = 83,19 y 83,19 − 84 = −0,81
(−0,81) / (−0,10) = 8,1. Las dos se acercan a 8. Decir «el beneficio marginal es 8 euros por unidad» no promete que la unidad número 7 deje exactamente 8 euros: promete el ritmo en x = 6. Al vender más, la expresión 8 − h enseña que el ritmo medio ya baja.
Un barrio pequeño se modela con P(t) = 300 + 12t habitantes, siendo t el número de años desde el censo. No hay cuadrado: es lineal.
P'(t) = 12
P es la población en habitantes; t es el tiempo en años; 12 es tanto la tasa media de cualquier tramo como la derivada, en habitantes por año. El 300 del modelo es la población inicial y desaparece al restar, porque una constante no cambia.
En el beneficio del ejemplo 1 la derivada cambiaba con x (más adelante verás que B'(x) = 20 − 2x, y en x = 6 da 8). Aquí no cambia. Las dos situaciones usan la misma definición; el álgebra del cociente es lo que cambia.
El lienzo dibuja B(x) = 20x − x2 entre x = 0 y x = 12, la secante de x = 6 a x = 8 (pendiente media 6, porque B(8) = 96 y 96 − 84 = 12
12 / 2 = 6) y la tangente en x = 6 (pendiente 8). Marca el punto de tangencia. Restaurar redibuja las tres piezas.
C(q) = 5q + 8 euros, con q en unidades. Calcula la tasa media entre q = 2 y q = 2 + h, y la derivada C'(2). Interpreta la unidad.
En una recta, media e instantánea coinciden. El término independiente es un coste fijo: al restar C(q + h) − C(q) desaparece, igual que el 300 de la población.
B(x) = −x2 + 8x. Halla el cociente incremental en x = 3, simplifícalo y calcula B'(3). Comprueba el caso h = 0,2.
El término −h es el rastro del tramo. Se va cuando h tiende a 0, y por eso la derivada es 2 y no 1,8. Usar la tasa de un tramo de 0,2 como si fuera la derivada sería quedarse a medio camino.
El precio de un bien, en euros, cumple p'(q) = −4 en el nivel de producción que se estudia. q es la cantidad. Di si el precio sube o baja al aumentar un poco la cantidad, y en qué unidades está ese −4.
La derivada no es el precio, es su cambio. Confundir p(q) con p'(q) mezcla el nivel de la variable con la pendiente. El signo solo informa de la dirección del cambio.
V(t) = t2 modela, en algún recuento sencillo, un número de visitantes según la hora t. Calcula el cociente en t = 4 y la derivada V'(4). Comprueba h = 0,1.
El cociente 8 + h enseña el límite sin ambigüedad: al quitar h queda 8. La comprobación con 0,1 no sustituye al límite; solo verifica que no te has equivocado al expandir (4 + h)2.
La tasa media es un cociente con un h concreto. La derivada es el límite de ese cociente cuando h tiende a 0. En sociales, el número que sale lleva unidad: euros por unidad, habitantes por año. El signo dice si aquello crece o decrece en ese punto.