Les vencimos

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I · 1.º Bachillerato

Lección 11 · B.2 · Cambio

Continuidad mediante límites

Decreto 40/2022 CyL · primer curso · antes de segundo

Objetivos

Tres preguntas en este orden

El bloque B.2 pide estudiar la continuidad aplicando límites. El orden evita discusiones vacías. En un punto a te preguntas:

  1. ¿Existe f(a)? Si no existe, ya no puede ser continua en a. Aún debes mirar el límite: el tipo de discontinuidad depende de él.
  2. ¿Existe el límite de f(x) cuando x tiende a a, con los dos lados de acuerdo y el resultado un número finito?
  3. ¿Ese número es igual a f(a)? Solo entonces es continua en a.

f es continua en a si lim (x → a) f(x) = f(a)

f es la función que estudias; a es el punto concreto, no «todo el dominio»; el límite es el comportamiento de los vecinos; f(a) es el valor que la función tiene escrito en a. Las tres piezas tienen que ser el mismo número.

Si el límite existe y es finito, pero f(a) no existe o es otro número, la discontinuidad es evitable. «Evitable» no significa que ya esté arreglada: significa que bastaría definir o redefinir f(a) con el valor del límite. El hueco, o el punto mal puesto, se tapa.

Si el límite por la izquierda y el límite por la derecha existen y son finitos, pero no coinciden, la discontinuidad es de salto. No hay un único número con el que redefinir f(a) para contentar a los dos lados. Las tarifas que cambian al cruzar un umbral suelen ser de este tipo.

Si al acercarte a a la función crece o decrece sin estabilizarse en un número (suele haber una asíntota vertical), la discontinuidad es asintótica. No es un salto de tamaño finito y no se evita cambiando un solo valor.

Un polinomio es continuo en cualquier punto: puedes sustituir. Una fracción de polinomios es continua en los puntos donde el denominador no es cero. El trabajo de esta lección está en los puntos sospechosos: el que anula un denominador y el corte de una función a trozos.

Tres discontinuidades: evitable con hueco, de salto y asintótica evitable de salto asintótica

Ejemplo 1. Evitable: el límite existe y el valor no cuadra

f(x) = (x2 − 9) / (x − 3) si x ≠ 3, y f(3) = 0. Alguien ha rellenado el punto con un cero para «que no quede vacío». Hay que ver si ese cero es el que tocaba.

  1. f(3) existe y vale 0. La primera pregunta está respondida.
  2. x2 − 9 = (x − 3)(x + 3). Si x ≠ 3, f(x) = x + 3.
  3. Cuando x tiende a 3, x + 3 tiende a 6. Los dos lados coinciden. El límite es 6, un número finito.
  4. 6 ≠ 0. No es continua en 3. Como el límite sí existe y es finito, la discontinuidad es evitable: habría que cambiar f(3) de 0 a 6.

lim (x → 3) f(x) = 6   pero   f(3) = 0

x es la variable; 3 es el punto donde se anulaba el denominador; f(x) coincide con x + 3 fuera de ese punto; 6 es el límite, el valor que taparía el fallo; 0 es el valor que alguien escribió en f(3) y que no coincide con el límite.

Si la función ni siquiera estuviera definida en 3, el diagnóstico sería el mismo: discontinuidad evitable, y la definición que la hace continua es f(3) = 6. No continua «por los otros puntos»: en cualquier a distinto de 3, la expresión x + 3 es un polinomio y ahí sí es continua.

Ejemplo 2. Salto en una tarifa y asíntota en un coste medio

Una beca, en algún baremo sencillo, paga g(x) = 2x euros si la renta x es menor que 2 (en miles de euros), y g(x) = x + 5 si la renta es mayor o igual que 2. Queremos saber qué pasa en el corte x = 2.

  1. g(2) = 2 + 5
    2 + 5 = 7. El punto está definido.
  2. Por la izquierda, x < 2, se usa 2x. El límite por la izquierda es 2 · 2 = 4.
  3. Por la derecha se usa x + 5, que tiende a 7. Coincide con g(2), pero eso solo salva el lado derecho.
  4. 4 ≠ 7. El límite de dos lados no existe. Discontinuidad de salto. El salto mide 7 − 4 = 3 euros en este baremo.

lim (x → 2−) g(x) = 4   y   lim (x → 2+) g(x) = 7 = g(2)

x es la renta en miles de euros; 2 es el umbral; g(x) es la beca en euros; 4 es a lo que se acerca la rama baja; 7 es el valor de la rama alta y también g(2).

No sirve redefinir g(2). Pongas el número que pongas, uno de los dos lados queda a otra altura. La discontinuidad de salto no es evitable.

El tercer tipo, en una expresión distinta: h(x) = 1 / (x − 2). En x = 2 no existe. Si x se acerca a 2 por la derecha, x − 2 es positivo y pequeño, y h(x) se hace positivo y muy grande. Por la izquierda, x − 2 es negativo y pequeño, y h(x) se hace negativo y muy grande en valor absoluto. No hay límite finito ni por un lado ni por el otro. Hay una asíntota vertical en x = 2: discontinuidad asintótica. Cambiar «un valor» no la quita, porque el problema no es un punto mal escrito sino que la expresión se dispara.

h(x) = 1 / (x − 2), sin límite finito cuando x → 2

h(x) es la función; 1 es el numerador constante; x − 2 es el denominador, que se acerca a 0; 2 es la abscisa de la asíntota vertical.

Ejercicios

1. Un polinomio en un punto

k(x) = x2. Estudia la continuidad en x = 3: calcula k(3) y el límite, y concluye.

Corrección
  1. k(3) = 9.
  2. El límite cuando x tiende a 3 también es 9, porque se puede sustituir.
  3. Coinciden. k es continua en 3.

La continuidad no exige que la gráfica sea una recta. Una parábola de polinomio no tiene cortes ni denominadores: en cada punto el límite y el valor son el mismo número.

2. Hueco sin definir

m(x) = (x2 − 4) / (x + 2) para x ≠ −2, y no está definida en −2. Clasifica la discontinuidad y di qué valor habría que darle a m(−2) para hacerla continua.

Corrección
  1. m(−2) no existe, así que no es continua en −2.
  2. x2 − 4 = (x − 2)(x + 2). Para x ≠ −2, m(x) = x − 2.
  3. El límite cuando x tiende a −2 es −2 − 2 = −4, finito y por los dos lados.
  4. Discontinuidad evitable. La definición que la hace continua es m(−2) = −4.

Cancelar x + 2 solo es válido fuera de −2. El límite usa precisamente esa expresión simplificada. Poner m(−2) = −4 no cambia los vecinos: los hace coincidir con el punto.

3. Un corte de salto

p(x) = −1 si x < 1, y p(x) = 3 si x ≥ 1. Estudia x = 1: valor, límites laterales y tipo de discontinuidad. Di si redefinir p(1) la arreglaría.

Corrección
  1. p(1) = 3.
  2. Límite por la izquierda: −1. Límite por la derecha: 3.
  3. No existe el límite de dos lados. Discontinuidad de salto. La altura del salto es 3 − (−1) = 4.
  4. Redefinir p(1) no la hace continua: los laterales seguirían en desacuerdo.

En un salto los dos límites laterales son números, pero distintos. La condición de continuidad pide un solo límite, igual al valor. Aquí falla ya la existencia de ese límite único.

4. Denominador que se anula de verdad

r(x) = 5 / (x − 4). Clasifica lo que ocurre en x = 4. No intentes «simplificar»: el numerador no se anula.

Corrección
  1. r(4) no existe: el denominador es 0 y el numerador es 5.
  2. Por la derecha, x − 4 → 0+ y r(x) → +∞.
  3. Por la izquierda, x − 4 → 0− y r(x) → −∞.
  4. No hay límite finito. Discontinuidad asintótica, con asíntota vertical x = 4.

Si solo se anula el denominador, no hay factor común que cancelar. La función no se acerca a una altura: se aleja sin cota. Eso no se tapa asignando un valor a r(4).

Cierre

Continua en a quiere decir: límite finito y ese mismo número escrito en f(a). Si el límite finito existe y el valor no cuadra, es evitable. Si los laterales finitos no coinciden, es de salto. Si la función se dispara, es asintótica.