Sean b > 0, b ≠ 1 y a > 0. El logaritmo en base b de a es el exponente al que hay que elevar b para obtener a. No está definido si a no es positivo, ni si la base es negativa, cero o uno: 1 elevado a cualquier cosa sigue siendo 1, y no puede dar otro resultado.
logb a = c significa bc = a
En el ejemplo de log2 32, la base b es 2, el argumento a es 32 y el logaritmo c es 5, porque 25 = 32. El 5 no es un factor suelto: es el exponente. Si la igualdad de potencias falla, el logaritmo propuesto es falso.
Dos consecuencias inmediatas, con la misma base válida: logb b = 1, porque b1 = b; y logb 1 = 0, porque b0 = 1. Además el logaritmo deshace la potencia y la potencia deshace el logaritmo: logb(bc) = c y blogb a = a, con a > 0.
Con argumentos positivos y la misma base válida:
logb(x y) = logb x + logb y
En la comprobación de log2 32, x = 8 e y = 4, ambos positivos. El producto x y es 32. log2 8 = 3 y log2 4 = 2, y 3 + 2 = 5 = log2 32. La suma es de logaritmos, no de los argumentos: 8 + 4 = 12 no interviene.
logb(x / y) = logb x − logb y
En el ejercicio del cociente 32/4, x = 32, y = 4 y la base es 2. El cociente es 8 y log2 8 = 3, que coincide con 5 − 2.
logb(xk) = k · logb x
En el ejemplo en base 3, x = 6, k = 2 y b = 3. Entonces 2 log3 6 = log3(62) = log3 36. El 2 pasa a exponente del argumento; no multiplica el 6.
El cambio de base, cuando se necesita, es una relación entre logaritmos, no una aproximación:
logb a = logk a / logk b
Para log4 8 con base auxiliar k = 2: log2 8 = 3 y log2 4 = 2, así que el cociente es 3/2. La base original b es 4, el argumento a es 8 y 3/2 es el logaritmo buscado. Comprobación por definición: 43/2 = (22)3/2
(22)3/2 = 23
23 = 8. Cuadra, así que log4 8 = 3/2 exactamente, no 1,5 «aproximado».
Calcula log2 32 y compruébalo también como suma de logaritmos.
log2 32 = 5 porque 25 = 32
2 es la base, 32 es el argumento, 5 es el logaritmo. El 32 del miembro derecho de la potencia es el mismo argumento: la definición no lo cambia, lo explica.
Simplifica 2 log3 6 − log3 4.
2 log3 6 − log3 4 = 2
3 es la base común, 6 es el argumento que se eleva al cuadrado porque el coeficiente del logaritmo es 2, 4 es el argumento que se resta y por tanto divide, y 2 es el valor final, que es log3 9. No es 2 × 6 = 12
12 − 4 = 8: eso operó los argumentos como si no hubiera logaritmos.
La ecuación log10 x = 3, con x desconocido y positivo, significa 103 = x. Entonces x = 1000. Comprobación: log10 1000 = 3 porque 103 = 1000. No hay otra solución: la función exponencial de base 10 toma cada valor positivo una sola vez. Las ecuaciones con varios logaritmos y un dominio que descartar candidatas son del bloque de igualdad (más adelante en el curso); aquí el saber A.3 es la definición y las propiedades aplicadas a un paso.
Calcula log2 64 y escribe la potencia que lo justifica.
El logaritmo vale 6. No es 64/2 = 32: dividir argumento entre base no es la definición. La definición pide un exponente, y el exponente que encaja es 6.
Calcula log7 1 y log7 7.
log7 1 = 0 y log7 7 = 1. El cero no significa «no hay logaritmo»: es el exponente que produce 1. Vale en cualquier base válida, no solo en base 7, porque b0 = 1 siempre que b ≠ 0.
Calcula log2 32 − log2 4 de dos maneras: restando los logaritmos y aplicando la propiedad del cociente.
El valor es 3. Las dos vías tienen que coincidir: si la resta de logaritmos y el logaritmo del cociente no dieran el mismo número, se habría usado una base distinta en cada término o un argumento no positivo. Aquí los dos argumentos son potencias de 2 y la base es común.
Halla x y comprueba sustituyendo en la definición.
La solución es x = 81. Pasar el 4 como factor,x = 3 × 4
3 × 4 = 12, confunde el logaritmo con un producto. La comprobación lo descarta: 3algo = 12 no es la ecuación que se había escrito, y 34 no es 12.
logb a = c es otra manera de escribir bc = a. Con eso se calculan los casos limpios y se deshace una ecuación de un solo logaritmo. Las propiedades del producto, el cociente y la potencia acortan una expresión sin cambiar su valor, y el cambio de base se comprueba volviendo a elevar. Si la potencia no recupera el argumento, el logaritmo no era ese.