Si a ≠ 0 y m, n son enteros, multiplicar potencias de base a suma los exponentes, y dividirlos los resta. Una potencia elevada a otra multiplica los exponentes. La base tiene que ser la misma para sumar o restar exponentes: 2 · 2 = 4
4 · 2 = 8
3 · 3 = 9
8 · 9 = 72 no es 6⁵ ni 2⁵.
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ , aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ , (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
En el primer ejemplo numérico de esta lección la base a es 2, m es 6, n es 2 en el producto del numerador y el exponente del denominador es 5. No se suman las bases. El exponente resultante,
6 + 2 = 8
8 − 5 = 3, cuenta cuántos factores 2 quedan después de cancelar.
a⁰ = 1 para a ≠ 0, porque aᵐ / aᵐ = a⁰ y cualquier número no nulo dividido por sí mismo es 1. a⁻ⁿ = 1 / aⁿ, de nuevo con a ≠ 0. Un exponente negativo no vuelve negativo el resultado: 2⁻³ = 1/8, positivo. El signo menos vive en el exponente, no en la base.
Para a ≥ 0, la raíz cuadrada √a es el único real b ≥ 0 tal que b² = a. Por eso (√a)² = a, y √(a²) = |a|, no siempre a:
si a = −3
√9 = 3
3 = |−3|. En esta lección las raíces de índice par se piden sobre radicandos no negativos.
La relación que permite simplificar es aᵐᐟⁿ = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ, cuando esas expresiones existen. Para la raíz cuadrada, n = 2. Extraer un cuadrado perfecto es escribir el radicando como producto de un cuadrado y otro factor, y sacar el cuadrado fuera: √(c² · d) = c √d si c ≥ 0 y d ≥ 0.
√(c² · d) = c √d
En √48, c² = 16 así que c = 4, y d = 3. El 4 sale de la raíz y el 3 se queda: 4√3. No es 48/2 ni «la mitad del radicando».
Simplifica (2 · 2 = 4
4 · 2 = 8
8 · 2 = 16
16 · 2 = 32
32 · 2 = 64
2 · 2 = 4
64 · 4 = 256) / 2⁵ y comprueba con el valor de cada potencia.
2 · 2 = 4
4 · 2 = 8
8 · 2 = 16
16 · 2 = 32
32 · 2 = 64
2 · 2 = 4
64 × 4 = 256
2 · 2 = 4
4 · 2 = 8
8 · 2 = 16
16 · 2 = 32
256 / 32 = 8
La base 2 es el factor que se repite. Los exponentes 6 y 2 dicen cuántas veces entra ese factor en el numerador; el 5, cuántas veces entra en el denominador. El 3 es lo que queda, y 8 es el valor de 2³. Sumar 6 + 2 + 5 sería contar los factores del denominador como si multiplicaran.
Simplifica √48. Aparte, calcula (1/2)⁻³.
√48 = 4 √3
48 es el radicando, 16 es el factor cuadrado perfecto, 4 es su raíz no negativa y 3 es el factor que no es cuadrado perfecto y se queda dentro. 4 √3 no es 12 ni √12: 12² = 144, que no es 48.
(1/2)⁻³ = 8
La base es 1/2, distinta de cero. El exponente −3 pide el inverso del cubo de esa base. 8 es 2³, el valor obtenido. El signo negativo del exponente invierte la base; no pone un menos delante del 8.
√(9 + 16) no es √9 + √16. El primero: 9 + 16 = 25 y √25 = 5. El segundo: 3 + 4 = 7. Como 5 ≠ 7, la raíz de una suma no es la suma de raíces. La propiedad que sí vale es la del producto: √(9 × 16) = √144 = 12 y √9 × √16 = 3 × 4 = 12. Confundir suma con producto cambia el resultado, y un solo número basta para verlo.
Calcula 3⁵ / 3² de dos maneras: restando exponentes y dividiendo los valores.
El resultado es 27. Restar exponentes solo es lícito con la misma base. 3⁵ / 2⁵ no se convertiría en 1⁵: las bases distintas se quedan, y (3/2)⁵ sería otro modelo.
Simplifica √98 y comprueba elevando al cuadrado.
La forma simplificada es 7 √2. El 49 es el mayor cuadrado perfecto que divide a 98 (98 / 49 = 2, y 2 ya no es divisible por 4, 9, 16…). Sacar solo el 2, escribiendo √(2 × 49) al revés, lleva al mismo sitio; dejar √98 sin extraer no está mal de valor, pero no usa la relación que pide el saber.
Calcula (2³)² y comprueba con 8² y con 2⁶.
El valor es 64. Multiplicar exponentes no es sumarlos: 2³⁺² = 2⁵
2⁵ = 32, que es otra operación, el producto 2 · 2 = 4
4 · 2 = 8
2 · 2 = 4
8 · 4 = 32, no la potencia de la potencia. La comprobación 8² separa las dos lecturas y descarta el 32.
Calcula 16³ᐟ⁴. Después calcula (4³ × 4⁻¹) / 4².
16³ᐟ⁴ vale 8, y la segunda expresión vale 1. El exponente cero no significa «el resultado es cero»: 4⁰ = 1 porque es un cociente de dos potencias iguales de base no nula. Y el exponente 3/4 no es 3 − 4: es una raíz cuarta seguida de un cubo, o al revés.
Potencias de la misma base se simplifican sumando, restando o multiplicando exponentes. La raíz es el exponente fraccionario, y extraer cuadrados la deja más corta sin cambiar el valor. La comprobación es volver a la definición: desarrollar la potencia o elevar al cuadrado la expresión simplificada. Si los dos caminos no dan el mismo número, la propiedad se aplicó donde no valía.