Les vencimos

Matemáticas Aplicadas a las CCSS I · 1º Bachillerato

Lección 04 · A.2 Cantidad

Racionales, irracionales e intervalos

Decreto 40/2022 CyL · primer curso · sentido numérico A.2

Objetivos

Cómo se encajan los conjuntos

Los naturales que usamos aquí son 0, 1, 2, 3… Los enteros añaden los negativos: …, −2, −1, 0, 1, 2… Un número racional es el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero: p/q. Todo entero n es racional porque n = n/1. Un número irracional es un real que no puede escribirse así. Los reales son la unión de racionales e irracionales: en la recta no queda hueco entre ambos tipos, pero sí son disjuntos. Ningún número es a la vez racional e irracional.

Propiedades que contrastan. La suma, la resta, el producto y el cociente (divisor no nulo) de racionales son racionales. El cuadrado de un racional es racional. La raíz cuadrada de un entero que no es cuadrado perfecto no es racional: √4 = 2 sí lo es; √2 no. La suma de un racional y un irracional es irracional. No ocurre lo mismo con dos irracionales: √2 + (−√2) = 0, que es racional. Por eso no se dice «irracional más irracional da irracional» sin mirar el caso.

Por qué √2 no es racional

Supongamos que √2 = p/q con p y q enteros, q ≠ 0, y la fracción ya irreducible: p y q no tienen un divisor primo común. Entonces p² / q² = 2, así p² = 2 q². El primo 2 divide a p² y, por tanto, divide a p. Sea p = 2m. Sustituyendo, 4m² = 2 q², luego q² = 2 m², así que 2 también divide a q. Entonces p y q comparten el factor 2, contra la hipótesis de fracción irreducible. No existe tal fracción. √2 es irracional. El argumento vale igual para √3, cambiando el primo 2 por el 3, porque 3 tampoco es un cuadrado.

π se toma aquí como irracional ya demostrado fuera de este curso: no hace falta memorizar una prueba, y no se «decide» mirando unas cuantas cifras. Un decimal largo no periódico que uno mismo construye sí se clasifica con seguridad, porque un racional tiene decimal finito o periódico.

Decimales y el orden

0,75 = 75/100
75/100 = 3/4, racional. 0,121212… con el bloque «12» repetido es 12/99 = 4/33, racional. El número 0,101001000100001…, donde entre los unos hay cada vez un cero más, no tiene un bloque que se repita: no es racional.

Para ordenar positivos, si 0 ≤ a < b entonces a² < b², y al revés. Sirve para colocar una raíz sin calculadora: si a > 0 y a² < 2, entonces a < √2; si a² > 2, entonces a > √2. Para negativos el orden de los cuadrados se invierte respecto del orden de los números: si x e y son negativos y x² > y², entonces x < y. Ejemplo: (−2)² = 4 y (−1)² = 1, y −2 < −1.

−2 < −1,5 < 0 < 2/3 < √3 < 2

−2 es −√4, entero. −1,5 es −3/2, racional no entero. 0 es entero. 2/3 es racional. √3 es irracional, porque 3 no es cuadrado perfecto. 2 es entero. La cadena es el orden de esos seis reales en la recta.

Comprobación de 2/3 < √3: ambos positivos y (2/3)² = 4/9. Como 4/9 < 3 (porque 4 < 27), se tiene (2/3)² < (√3)², luego 2/3 < √3. Comprobación de √3 < 2: 3 < 4 = 2², y ambos positivos, luego √3 < 2.

Intervalos: el orden escrito en corto

Un intervalo es un conjunto de reales comprendidos entre dos extremos, que pueden estar o no. Corchete si el extremo entra; paréntesis si no entra. La recta infinita usa ∞ solo como marca de «sin extremo», nunca como número: (3, ∞) significa x > 3.

DesigualdadIntervalo¿Entra el extremo de la izquierda?¿Entra el de la derecha?
4 ≤ x < 8[4, 8)sí, el 4no, el 8
x > 3(3, ∞)nono hay extremo
−1 ≤ x ≤ 2[−1, 2]sísí

[4, 8) = { x real : 4 ≤ x < 8 }

4 es el extremo inferior, incluido, y en el ejemplo es un porcentaje de paro que el modelo todavía acepta. 8 es el extremo superior, excluido: un 8 % ya no está en el conjunto. x es un real cualquiera que se somete a esa doble desigualdad. El corchete y el paréntesis no son adorno: cambian la pertenencia de un solo punto, y ese punto puede ser la diferencia entre cumplir o no un umbral.

Recta real de −2 a 3 con √2 marcado y el intervalo cerrado-abierto de 0 a 2 −2 −1 0 1 2 3 √2 Tramo ámbar: [0, 2). El 0 entra (disco lleno); el 2 no (aro). √2 está dentro porque 0 < √2 < 2.

El disco lleno es un extremo incluido. El aro es un extremo excluido. √2 cae dentro de [0, 2) porque es positivo y menor que 2, como ya se comprobó con los cuadrados 2 < 4. No hace falta saber más cifras de √2 para decidir esa pertenencia.

Ejemplo resuelto 1. Clasificar seis números

Clasifica 7/2, √16, √2, 0,75, π y −4.

  1. 7/2 = 3,5 es cociente de enteros con denominador 2 ≠ 0. Racional, no entero, porque no existe un entero cuyo doble sea 7.
  2. √16 = 4, porque 4² = 16. Es natural, entero, racional y real. Decir solo «raíz, luego irracional» es falso: la raíz de un cuadrado perfecto es entera.
  3. √2 es irracional, por la prueba de arriba. Es real y no es racional.
  4. 0,75 = 3/4. Racional no entero.
  5. π es irracional (resultado clásico que aquí se usa, no se demuestra). No se clasifica por las primeras decimales 3,14, que son una aproximación racional.
  6. −4 es entero negativo, luego racional (−4/1), no natural si los naturales empiezan en 0 sin negativos.

√16 = 4 , 4²
4 , 4² = 16

16 es el radicando, entero y cuadrado perfecto; 4 es la raíz cuadrada no negativa; el exponente 2 del segundo miembro es el que deshace la raíz. El símbolo √, en este curso, indica la raíz no negativa: la ecuación x² = 16 tiene dos soluciones, 4 y −4, pero √16 nombra solo 4.

Ejemplo resuelto 2. Umbral escrito como intervalo

Un indicador se acepta cuando el porcentaje p cumple 4 ≤ p < 8. Escríbelo como intervalo y decide si pertenecen 4, 7,9 y 8.

  1. El 4 lleva ≤, así que entra. El 8 lleva <, así que no entra.
  2. Intervalo: [4, 8).
  3. 4 pertenece: es el extremo cerrado. 7,9 pertenece: 4 ≤ 7,9 < 8. 8 no pertenece: la desigualdad superior es estricta.
  4. Comprobación de 7,9: 7,9 = 79/10, racional, y 79/10 − 4 = 39/10 > 0, y 8 − 79/10 = 1/10 > 0. Las dos diferencias positivas confirman que está estrictamente entre medias salvo el cierre del 4, que aquí no hace falta porque 7,9 no es el extremo.

[4, 8) = { p : 4 ≤ p < 8 }

p es el porcentaje del indicador, 4 es el mínimo aceptado e incluido, 8 es el tope no alcanzado. Cambiar el paréntesis por un corchete metería el 8, que el enunciado deja fuera.

Entre dos racionales hay otro

Si a y b son racionales y a < b, el punto medio m = (a + b) / 2 es racional, porque suma y cociente de racionales lo son, y a < m < b. Entre 1/5 y 1/3: suma 1/5 + 1/3 =
3 / 15 = 1/5
5 / 15 = 1/3
1/5 + 1/3 = 8/15; mitad 8/30 = 4/15. En treintavos:
1/5 = 6/30
4/15 = 8/30
1/3 = 10/30. Se cumple 6/30 < 8/30 < 10/30.

1 / 5 = 1/5
1 / 3 = 1/3
1 / 5 = 1/5
1 / 3 = 1/3
1/5 + 1/3 = 8/15
8 / 15 = 8/15
8/15 / 2 = 4/15
4/15 = 4/15

1/5 y 1/3 son los racionales de partida, el 2 es el denominador que toma el punto medio, y 4/15 es ese medio, también racional. No es √(1/5 · 1/3): eso sería otra media y no hace falta para probar la densidad.

Escribe el razonamiento

Ejercicios

1. Clasifica

Clasifica −5, 0, √9, √7, 0,2 y el decimal 0,1010010001… con un cero más entre cada par de unos.

Corrección
  1. −5 es entero (negativo) y racional: −5/1. No es natural.
  2. 0 es natural y entero, luego racional.
  3. √9 = 3, porque 3² = 9. Natural, entero, racional.
  4. √7 es irracional: 7 no es un cuadrado perfecto (2² = 4, 3² = 9) y el mismo argumento del primo que en √2 se aplica al 7.
  5. 0,2 = 1/5, racional no entero.
  6. 0,101001000100001… no repite un bloque fijo: cada vez hay un cero adicional. No es un decimal periódico, luego no es racional. Es irracional.

La clasificación mira la definición, no el símbolo. La raíz no implica irracional (√9 es entero) y un decimal largo no implica irracional si el bloque se repite. Aquí el bloque no se repite porque la racha de ceros crece.

2. Ordena

Ordena de menor a mayor: −√9, −2, 1/4, √2 y 3.

Corrección
  1. −√9 = −3, porque √9 = 3.
  2. −3 < −2, ambos enteros.
  3. −2 < 1/4, porque uno es negativo y el otro positivo.
  4. 1/4 < √2: ambos positivos y (1/4)² = 1/16 < 2. Como 1 < 32, 1/16 < 2.
  5. √2 < 3: 2 < 9 = 3².
  6. Orden: −3 < −2 < 1/4 < √2 < 3.

Comparar cuadrados solo conserva el orden si los dos números son positivos. Por eso −√9 se simplifica primero a −3 y se ordena como entero: elevar al cuadrado −3 y −2 daría 9 y 4, y el mayor cuadrado corresponde al menor número.

3. Intervalo de una nota

Se admite la nota x si 5 ≤ x < 7. Escribe el intervalo y di si pertenecen 5, 6,9 y 7.

Corrección
  1. 5 entra por el ≤. 7 no entra por el <.
  2. Intervalo [5, 7).
  3. 5 pertenece. 6,9 pertenece porque 5 ≤ 6,9 y 6,9 < 7 (la diferencia 7 − 6,9 = 0,1 > 0).
  4. 7 no pertenece.

El intervalo es [5, 7). Un corchete en el 7, [5, 7], sería otra condición: x ≤ 7. El enunciado no la tiene. La pertenencia se decide en los extremos; el 6,9 no es un extremo y basta ver que cae estrictamente antes del 7.

4. Un racional en medio

Calcula el punto medio de 1/5 y 1/3, simplifícalo y comprueba el orden con denominador 30.

Corrección
  1. 1 / 5 = 1/5
    1 / 3 = 1/3
    1/5 + 1/3 = 8/15.
  2. Punto medio: 8 / 15 = 8/15
    8/15 / 2 = 4/15.

  3. 1/5 = 6/30
    4/15 = 8/30
    1/3 = 10/30.
  4. 6 < 8 < 10, así que 1/5 < 4/15 < 1/3.

El punto medio es 4/15. Al ser suma y cociente de racionales, sale racional: entre 1/5 y 1/3 hay al menos un racional, de hecho infinitos, pero con uno basta para ver la densidad. Pasar a denominador 30 no cambia el número; solo hace visible la desigualdad de los numeradores.

Cierre

Racional es cociente de enteros; irracional es el real que no lo es. El orden de los positivos se puede leer en los cuadrados, y el de los negativos no se copia del de sus cuadrados. El intervalo traduce las desigualdades de un umbral, extremo a extremo. Ese es el contenido de A.2 en este curso: comparación, orden, clasificación y contraste de propiedades.