Matemáticas Aplicadas a las CCSS I · 1º Bachillerato
Lección 02 · A.1 Conteo
Diagramas de árbol y recuento sistemático
Decreto 40/2022 CyL · primer curso · sentido numérico A.1
Objetivos
Construir un diagrama de árbol con una etapa por nivel y resultados excluyentes en cada nudo.
Aplicar el principio del producto cuando cada nudo tiene el mismo número de salidas.
Sumar ramas de distinto tamaño cuando el número de opciones depende de la elección anterior.
Comprobar el árbol con un listado sistemático que no repita ni omita casos.
Escribir la frase final con la unidad contada: menús, itinerarios, caminos, hojas de respuesta.
Cuándo se multiplica
Un recuento por etapas sirve si el proceso se parte en decisiones sucesivas y cada resultado final es una secuencia de una decisión por etapa. Si la etapa 1 admite a resultados y, sea cual sea el elegido, la etapa 2 admite b resultados, el total es a × b. La razón no es «siempre se multiplica»: es que de cada una de las a ramas cuelgan exactamente b ramas nuevas, así que hay a grupos de b.
N = a × b
En el menú de esta lección, a = 2 es el número de primeros (sopa o ensalada), b = 3 es el número de segundos (pescado, carne o pasta) y el producto parcial 6 cuenta los pares primer-segundo. Falta el postre: hay 2 postres en cada uno de esos 6 pares, así que el total de menús es 6 × 2 = 12. La letra N es ese total, en menús, no en platos sueltos.
Tres etapas con 2, 3 y 2 opciones constantes se escriben de una vez:
2 × 3 = 6
6 × 2 = 12
N = 12
El primer 2 son los primeros platos, el 3 son los segundos, el segundo 2 son los postres (fruta o flan) y 12 es el número de menús completos. Ningún factor es «el número de comensales»: cada factor es una etapa del mismo menú.
La comprobación del producto uniforme es el listado. Se fija un orden de etapas y se recorre sin saltar: primero todos los menús que empiezan por sopa, luego todos los que empiezan por ensalada. Si el listado tiene 12 líneas distintas y no se puede formar otro menú con esos platos, el 12 queda comprobado.
Cuándo el árbol manda y el producto único no
Si la segunda etapa no tiene el mismo número de opciones en todas las ramas, no existe un único b. Multiplicar «número de primeras elecciones × algo» inventa un factor. Se dibuja el árbol y se cuenta cada hoja, o se suman los tamaños de las ramas.
N = b₁ + b₂
En el itinerario de optativas, b₁ = 3 es el número de optativas del turno de mañana y b₂ = 2 es el número de optativas del turno de tarde. N = 5 itinerarios. No hay un tercer factor: cada itinerario es un turno y una sola optativa de ese turno.
El árbol del turno y la optativa
Un estudiante elige turno y, según el turno, una optativa. Mañana ofrece Historia del arte, Economía y Latín. Tarde ofrece Tecnología y Música. No se pueden cursar las de otro turno.
Las cinco hojas son los cinco itinerarios. Un producto 2 × 3 = 6 contaría una optativa de mañana colocada también por la tarde, y el enunciado lo prohíbe. El árbol es aquí la técnica, no un dibujo opcional del producto.
Ejemplo resuelto 1. Menú de tres etapas iguales en cada nudo
El comedor ofrece sopa o ensalada; después pescado, carne o pasta; después fruta o flan. Hay que elegir uno de cada etapa. ¿Cuántos menús distintos hay?
Dato: etapa 1 con 2 primeros, etapa 2 con 3 segundos, etapa 3 con 2 postres. En cada nudo el número de salidas no depende de lo elegido antes.
Comprobación por listado, con los segundos en el orden pescado, carne, pasta y los postres en el orden fruta, flan.
Sopa: sopa-pescado-fruta, sopa-pescado-flan, sopa-carne-fruta, sopa-carne-flan, sopa-pasta-fruta, sopa-pasta-flan (6).
Ensalada: ensalada-pescado-fruta, ensalada-pescado-flan, ensalada-carne-fruta, ensalada-carne-flan, ensalada-pasta-fruta, ensalada-pasta-flan (6).
Total 6 + 6 = 12. No aparece un decimotercero: solo hay esos platos.
Frase: se pueden formar 12 menús distintos.
2 × 3 = 6
6 × 2 = 12
12 = 12
2 es el número de primeros, 3 el de segundos, 2 el de postres y 12 el de menús. El listado tiene doce líneas, una por cada producto de opciones, así que el cálculo y el recuento sistemático coinciden.
Ejemplo resuelto 2. Optativas que no se multiplican
Con los turnos del árbol: mañana con 3 optativas y tarde con 2. Cada estudiante elige un turno y una optativa de ese turno. ¿Cuántos itinerarios hay?
Dato: 2 turnos, pero la segunda etapa vale 3 solo si el turno es mañana y vale 2 solo si es tarde.
Modelo: suma de hojas, N = 3 + 2. Rechazo del modelo 2 × 3, que exigiría 3 optativas también por la tarde.
Cálculo: 3 + 2 = 5.
Comprobación: listado M-Historia, M-Economía, M-Latín, T-Tecnología, T-Música. Cinco secuencias, ninguna repetida, ninguna más permitida por el enunciado.
Frase: hay 5 itinerarios de turno y optativa.
5 = 3 + 2
3 es el número de optativas de mañana, 2 el de tarde y 5 el de itinerarios. El 2 de «dos turnos» no entra como factor: ya está representado al separar las dos ramas que se suman.
Escribe el razonamiento
Dibuja en palabras el árbol del ejercicio que elijas: etapa, ramas y si al final multiplicas o sumas. Luego haz la cuenta.
Ejercicios
1. Camisetas y pantalones
Hay 3 camisetas (roja, azul, verde) y 2 pantalones (vaquero, negro). Un conjunto es una camiseta y un pantalón. ¿Cuántos conjuntos hay? Comprueba listándolos.
Corrección
Etapa 1: 3 camisetas. Etapa 2: 2 pantalones, los mismos para cualquier camiseta.
Son 6 conjuntos. El listado tiene seis líneas y cada camiseta aparece emparejada con los dos pantalones: el factor 2 no depende de la rama, así que el producto es el modelo correcto.
2. Caminos de longitud distinta
Desde la plaza se puede ir al instituto en autobús o a pie. El autobús tiene 2 líneas (L1 y L2). A pie solo hay 1 recorrido. ¿Cuántos caminos distintos hay?
Corrección
La segunda etapa no es constante: 2 líneas si se elige autobús, 1 recorrido si se va a pie.
N = 2 + 1
2 + 1 = 3.
Listado: autobús-L1, autobús-L2, a pie. No hay un segundo camino a pie que el enunciado no da.
Hay 3 caminos. Multiplicar 2 × 2 = 4 inventaría una línea o un segundo recorrido a pie. El árbol desigual se suma; no se le busca un factor común que el enunciado no tiene.
3. Moneda y dado
Se lanza una moneda (cara o cruz) y después un dado de seis caras (1, 2, 3, 4, 5, 6). ¿Cuántos resultados distintos hay en el par (moneda, dado)?
Corrección
Etapa moneda: 2 resultados. Etapa dado: 6, los mismos tras cara y tras cruz.
N = 2 × 6
2 × 6 = 12.
Comprobación: tras cara están (cara,1) … (cara,6), seis pares; tras cruz, otros seis. 6 + 6 = 12.
Hay 12 resultados. Esta lección cuenta casos, no asigna probabilidades: cada par es una hoja del árbol, y las doce hojas existen aunque más adelante no resulten equiprobables en otro experimento. Aquí el dado es de seis caras distintas y la moneda de dos, así que el recuento es 12.
4. Tres preguntas de sí o no
Una hoja tiene 3 preguntas y cada una se contesta sí o no. ¿Cuántas hojas distintas de respuestas hay? Lista las que empiezan por sí y comprueba que son la mitad.
Corrección
Tres etapas, cada una con 2 opciones fijas.
2 × 2 = 4
4 × 2 = 8
N = 8.
Empiezan por sí: SSS, SSN, SNS, SNN. Son 4.
Empiezan por no: NSS, NSN, NNS, NNN. Otras 4. Total 8.
Hay 8 hojas. Fijar la primera respuesta parte el árbol en dos ramas del mismo tamaño, 4 y 4, y 4 + 4 recupera el producto. Si las preguntas fueran de tres opciones, el 2 dejaría de servir: el factor es el número de respuestas de esa pregunta, no el número de preguntas.
Cierre
El diagrama de árbol organiza el recuento por etapas. Si cada nudo tiene las mismas salidas, las hojas son el producto de esos números. Si no, se cuentan las hojas o se suman ramas. El listado sistemático es la comprobación: mismas secuencias, ni una de más ni una de menos. La lección siguiente pone nombre a tres recuentos en los que ya no se listan todas las hojas.