Tu mejor jugada depende de la suya

Qué vas a aprender

Hasta aquí la alternativa era el ocio, el trabajo o el otro bien de la frontera. A veces la alternativa la elige otra persona que está pensando en ti al mismo tiempo. La teoría de juegos, en la versión de este curso, es una forma ordenada de pintar esas decisiones cruzadas. Verás una matriz de dos por dos, qué significa un equilibrio de Nash dicho en palabras, y un dilema del prisionero aplicado a dos comercios que bajan precios. Sin fórmulas de universidad: solo incentivos que se miran de frente.

Una matriz de dos por dos

Imagina dos jugadores. Cada uno tiene dos jugadas posibles. El resultado de cada uno depende del par de jugadas, no de la suya sola. La matriz es una tabla con cuatro casillas. En cada casilla se escriben dos números: lo que gana el primero y lo que gana el segundo en ese par. El orden hay que fijarlo y no cambiarlo a mitad de la lectura. En nuestros ejemplos el primer número es la ganancia del jugador de las filas y el segundo la del jugador de las columnas. Son euros de ejemplo de clase, no contabilidades reales.

Leer la tabla exige un gesto que el relato suelto se salta: tapar mentalmente la jugada del otro y preguntar qué te conviene a ti. Luego destapar y repetir desde el otro lado. Si no haces las dos pasadas, contarás un final bonito que nadie, por separado, tiene incentivo a sostener.

No todos los juegos se parecen. En unos, los dos quieren coincidir, como ponerse de acuerdo en el lugar de una cita cuando les da igual cuál sea con tal de coincidir. En otros, lo que a ti te beneficia daña al otro en esa casilla. El dilema del prisionero es un caso famoso del segundo tipo, y conviene no bautizar así a cualquier pelea. El nombre se reserva para una estructura concreta de pagos.

Equilibrio de Nash, en palabras

Un par de jugadas es un equilibrio de Nash cuando, dada la jugada del otro, ninguno de los dos gana más cambiando solo la suya. No hace falta que el par sea el mejor para los dos juntos. Hace falta que sea estable frente a un arrepentimiento unilateral. Si uno se arrepiente al ver lo que hizo el otro, ese par no es equilibrio: en cuanto pueda, se mueve.

La definición no dice que la gente haga cuentas con ese nombre en la cabeza. Dice que, si cada cual persigue su incentivo y acierta a anticipar al otro, el par donde paran tiene esa propiedad. Puede haber un equilibrio, varios o, en juegos más raros que no veremos, ninguno en jugadas puras. En el dilema de esta lección habrá uno, claro y algo triste.

Tampoco digas que el equilibrio es «lo justo» ni «lo que ocurrirá siempre». Es lo que encaja con los incentivos si cada uno mira por su pago y no puede atar la mano del otro. Si pueden firmar un acuerdo que se cumple, o si el juego se repite y la reputación castiga la traición, la tabla de un solo día deja de ser el modelo completo. Cambiar las reglas cambia el juego. No se arregla un equilibrio feo insultando a los jugadores.

Dos comercios y la bajada de precios

Piensa en dos papelerías pequeñas de una misma calle en Burgos. No son marcas reales: son Ana y Luis, nombres de ejemplo. Venden casi lo mismo al instituto de al lado. Cada uno puede mantener el precio o bajarlo esta semana. Si los dos mantienen, se reparten la calle con calma y cada uno gana 100 euros de margen en el ejemplo. Si los dos bajan, se quitan clientes el uno al otro, venden más unidades y ganan menos por unidad: cada uno se queda con 60. Si solo Ana baja y Luis mantiene, parte de la clientela cruza de acera: Ana gana 140 y Luis se queda con 40. Si solo Luis baja, los números se invierten: Luis 140 y Ana 40.

La tabla queda así, siempre con el pago de Ana primero. Ambos mantienen: 100 y 100. Ana baja y Luis mantiene: 140 y 40. Ana mantiene y Luis baja: 40 y 140. Ambos bajan: 60 y 60. Los cuatro pares agotan el juego de una semana. No hay tercera estrategia escondida.

Míralo desde Ana, sin lealtad poética. Si Luis mantiene, Ana saca 140 bajando y 100 manteniendo: le conviene bajar. Si Luis baja, Ana saca 60 bajando y 40 manteniendo: otra vez le conviene bajar. Bajar es mejor para ella pase lo que pase con Luis. Se dice que bajar es estrategia dominante. A Luis le ocurre lo simétrico, porque la tabla es un espejo. Si Ana mantiene, él prefiere 140 a 100. Si Ana baja, prefiere 60 a 40. También baja haga lo que haga ella.

El par en el que ambos bajan es el equilibrio de Nash. Dado que el otro baja, ninguno gana más subiendo el precio en solitario: pasaría de 60 a 40. El par en el que ambos mantienen deja a cada uno con 100, que es mejor que 60, pero no es equilibrio. Si Ana cree que Luis mantendrá, ella gana más traicionando el pacto silencioso. Luis piensa lo mismo. La casilla cómoda para los dos juntos es inestable en cuanto cada uno puede moverse solo.

Eso es el dilema: el incentivo individual empuja a un resultado peor para ambos que otro resultado disponible. No porque sean irracionales, sino porque cada uno responde a su margen y no controla al otro. Llamarlos miopes por acabar en 60 y 60 omite la estructura. Si Ana se «porta bien» y Luis no, ella sale la peor parada, con 40. La prudencia de no ser el único que mantiene el precio es exactamente lo que los arrastra a la casilla baja.

Qué deja fuera este juego

Deja fuera la repetición. Si Ana y Luis abren lado a lado todo el curso, bajar hoy puede enseñar al otro a bajar mañana, y mantener puede construir una tregua. El juego repetido tiene más estrategias, entre ellas «coopero si el otro cooperó ayer». No las desarrollamos: basta saber que la matriz de una sola vez exagera la trampa cuando hay futuro y memoria. También deja fuera un acuerdo con castigo. Si una norma del barrio o un compromiso verosímil impide la rebaja, la jugada «bajar» ya no está disponible y el dilema se disuelve porque se ha cambiado el juego, no porque la tabla estuviera mal sumada.

Deja fuera que los clientes no son fichas. Una rebaja puede ser la única forma de que una familia llegue a fin de mes a comprar material. El equilibrio «ambos bajan» es malo para los dos tenderos y puede ser bueno para quien compra. Decir dilema del prisionero desde el mostrador no demuestra que la rebaja sea un mal social. Demuestra que, para esos pagos de los vendedores, el incentivo individual no sostiene el precio alto. Si se quiere juzgar el conjunto, hay que meter en la cuenta a quien paga el cuaderno. El modelo de dos jugadores no lo hace solo.

En una localidad pequeña de Castilla y León el efecto reputación es más fuerte que en una calle anónima, porque todo el mundo se cruza el domingo. Eso no anula la lógica: la debilita si la vergüenza de romper la tregua entra en el pago. Cuando la vergüenza suma bastante, el 140 deja de ser 140. Hay que reescribir la casilla antes de anunciar el equilibrio. Moralina sin reescribir números es otro juego, no una solución del primero.

Cómo no abusar de la palabra

No llames equilibrio a la casilla que te gusta. La de 100 y 100 es mejor para los tenderos y no es Nash en este juego de una vez. No llames dominante a una jugada solo porque es agresiva. Es dominante si gana en todas las filas o columnas relevantes, una por una. No digas que la teoría de juegos prueba que la gente es egoísta. Prueba, en este ejemplo, que ciertos pagos hacen incompatible el interés separado con el mejor resultado conjunto. Cambia los pagos y el equilibrio se mueve.

Para comprobar que has entendido, modifica una sola cifra con cuidado. Si cuando el otro mantiene, bajar diera 90 en vez de 140, ya no convendría bajar en esa rama, porque 90 es peor que 100. Puede que entonces mantener fuera equilibrio. El mecanismo no es «bajar siempre». Es comparar, rama por rama, y quedarte con el par que nadie quiere abandonar en solitario.