Bloque A · Fundamentos geométricos

Partir un segmento en partes iguales

Dibujo Técnico I · 1º Bachillerato Ciencias · Criterios 1.1 y 2.1

AB mide 84 mm y hay que dejarlo en tres partes iguales. No se tantea con la regla: se usa el teorema de Tales. Un haz de paralelas corta a dos secantes en segmentos proporcionales. Si en la secante auxiliar los trozos son iguales, en AB también.

Euclides lo escribe en los Elementos, libro VI, proposición 10: cortar un segmento en la misma razón en que ya está cortado otro. Tres partes iguales son ese enunciado, con el segmento auxiliar partido en tres trozos iguales. La Suda atribuye a Hipatia de Alejandría comentarios a la Aritmética de Diofanto; no un trazado distinto de esta división, así que no se le inventa un método. Lo que se atribuye a Pitágoras relaciona los lados del triángulo rectángulo y no parte AB en tercios.

Trazado

  1. Dato. Segmento AB = 84.
  2. Semirrecta. Desde A, una semirrecta que no siga a AB. En la figura sube en perpendicular a AB para que los cortes caigan en coordenadas enteras; Tales no pide ese ángulo. Sobre ella, tres segmentos iguales con el compás. La abertura de la figura es 40 mm. Sirve cualquier abertura, si las tres coinciden. Esos 40 no son el tercio de 84.
  3. Cierre. Se une la marca 3 con B. Esa recta fija la dirección de las paralelas.
  4. Paralelas. Por la marca 1 y por la marca 2, paralelas a 3B. Cortan a AB en C y D. Entonces AC = CD = DB.
    84 / 3 = 28
    Las paralelas trasladan la igualdad.
Paso 1 · dato AB = 84 A B 84 Paso 2 · tres aberturas de 40 1 2 3 Paso 3 · une 3 con B Paso 4 · paralelas y tercios C D 28 28 28
AB = 84. La abertura 40 es auxiliar. Las paralelas dejan tres partes de 28.

Segundo caso

AB = 100 mm, ahora en cinco partes iguales. La semirrecta lleva cinco marcas de la misma abertura (otra vez 40 mm, que no es la quinta parte de 100). Se une la marca 5 con B y se trazan paralelas por las marcas 1, 2, 3 y 4. La recta 5B ya llega a B y no crea un corte interior nuevo. Cada parte mide 20 mm.

1 2 3 4 5 A B cinco partes de 20
AB = 100. Cinco marcas de 40 mm en la semirrecta y cuatro paralelas. Cada parte de AB mide 20.

Comprueba

Para partir AB = 84 en tres, ¿qué recta hay que trazar antes de las paralelas que cortan a AB?

En la semirrecta las tres aberturas miden 40 mm y AB mide 84. ¿Cuánto mide cada parte de AB?

En el segundo caso, AB = 100 y hay cinco marcas. ¿Cuántas paralelas cortan a AB además de la recta que ya acaba en B?

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